ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариация из "Лекции по небесной механике " согласно 190, а и У содержат только косинусы, тогда как у и X содержат только синусы. [c.475] Задача, которую мы предполагаем теперь решить, заключается в нахождении некоторого частного решения этих уравнений, а именно того частного решения, которое соответствует случаю, в котором Е равно нулю. Так как мы пришли к тому, что хну разлагаются по синусам и косинусам кратных 2В или 2т, то м ы видим, что это частное решение является периодическим. Эта задача полностью была решена Хиллом ), и мы здесь изложим его основные результаты. [c.477] Впрочем, этот интеграл можно получить и сразу из уравнений (3). Здесь г = + у означает расстояние АС. [c.478] Первое уравнение получается в результате сложения уравнений (4), умноженных соответственно на ж, у, и 1, а второе получается в результате сложения тех же уравнений, но умноженных на у, —X и О соответственно. [c.478] Также видно, что левые части уравнений (5) являются однородными многочленами второй степени относительно ж, и их производных. [c.478] Действительно, легко проверить, что уравнения (6) являются не чем иным, как суммой и разностью уравнений (7) и (8). [c.479] Поэтому задача сводится к нахождению некоторого периодического решения уравнений (3). [c.479] Если построим траекторию Т точки с координатами (х, у) относительно вращающихся осей, то эта траектория будет замкнутой кривой, так как х и у являются периодическими функциями времени. В силу того, что разложение для у содержит только косинусы, а разложение для ж—только синусы, итак как, с другой стороны, разложения ж и у содержат только члены, аргументы которых равны т, умноженному на нечетные числа, то оси х и у являются осями симметрии для замкнутой кривой Т. [c.479] Исключая X из уравнений (4) и рассматривая С как произвольную постоянную, мы образовали систему (5) или (6), или (I). и (8), которые могут рассматриваться как более общий случай, так как система не изменится, если заменить ж, у и С на Хх, ку и Я С, где через Я обозначена некоторая постоянная. Если некоторая замкнутая кривая удовлетворяет уравнениям (3), то она также будет удовлетворять уравнениям (7) и (8) но уравнения (7) и (8) будут допускать, кроме того, в качестве решения всякую подобную кривую Т относительно начала координат. [c.479] Если идти далее, то, без сомнения, можно найти кривую с двумя двойными точками, симметрично расположенными на оси х далее, обе двойные точки будут стремиться совпасть с началом координат, а затем они исчезнут, и кривая Т образуется в замкнутую кривую без двойных точек, но с обратным движением. Но только первые кривые, определенные Хиллом, представляют интерес для изучения движения нашего спутника. [c.479] Будем разлагать решение по возрастающем степеням /и . Если решение найдено, то, чтобы вернуться к уравнениям (3), положим в нем р = т. [c.480] Теперь нужно определить последовательно сначала ио, во о потом щ, 1, Си потом иг, Sz, С и т. д. [c.480] И мы хотим определить и , Зд, Сд. Для этого приравниваем коэффициенты при т . [c.481] Все эти члены известны. Кроме того, мы должны сохранить также член т Сд, который является неизвестным. [c.481] В уравнении (11) А (s,, м,) есть не что иное, как выражение (10) следовательно, оно является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами величин Sg, Uq я их производных. Функция Фд представляет совокупность известных членов из правой части. Она является периодической функцией т. [c.482] Как бы там ни было, наши неизвестные функции определяются из уравнений (И) и (12), которые образуют систему линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.482] например, о, о, g и т) суть коэффициенты при в Ф, и Ф д, Uq и Sq. Предстоит определить неизвестные коэффициенты g и т) с помощью известных коэффициентов а я а. [c.482] Эти два уравнения первой степени дадут нам и т). [c.483] Вернуться к основной статье