ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Многочлены Тиссерана из "Лекции по небесной механике " Поэтому остается разложить os ка, что и сделал Тиссеран, который применил следующие приемы. [c.367] Выражение (7) и есть гипергеометрический ряд двух переменных Аппеля. [c.370] При этом коэффициенты этих линейных соотношений являются целыми многочленами относительно а, ц, v. [c.370] Заменяя F его значением, получим первое из соотношений (15). Второе и третье соотношения получаются из первого путем умножения на os или на ost). [c.371] между одиннадцатью величинами (16) существуют два линейных соотношения, коэффициенты которые являются целыми многочленами относительно ц и v. [c.371] Таким образом, коэффициент V удовлетворяет двум линейным уравнениям в частных производных второго порядка, коэффициенты которых являются целыми многочленами относительно л и V. Эти уравнения назовем уравнениями Аппеля. [c.372] В этих уравнениях х тя. у — независимые переменные, г — неизвестная функция, р тя д — ее производные первого порядка, г, 8, I — производные второго порядка. [c.372] Интегрирование должно производиться по г вдоль окружности единичного радиуса с центром в начале координат и по и — вдоль такой же окружности в плоскости и . Комбинация этих двух окружностей определяет замкнутую двумерную область, которая является областью для двойного интеграла. Другими словами, иском ый коэффициент является периодом двойного интеграла (20). [c.373] Чтобы получить и, нужно разложить этот коэффициент, который зависит от а, по возрастающим степеням а и взять коэффициент при а . [c.373] Но двойной интеграл (20), кроме указанного периода, обладает другими периодами любой из этих периодов зависит от а и может быть разложен по степеням а. Коэффициент при а в этом разложении будет удовлетворять тем же дифференциальным уравнениям для и. [c.373] Следовательно, множество решений уравнений (19) объясняется тем, что существует множество периодов и н т е г р а л а (20). [c.373] Заметим, что все наши интегралы конечны, по крайней мере для значений а, Р, у, которые удовлетворяют определенным неравенствам. [c.374] Интеграл должен быть взят как по и, так и по V, вдоль линии, идущей из бесконечности в бесконечность и проходящей между О и 1. Другие решения уравнений (19) могут быть представлены тем же интегралом (21), взятым вдоль других, подходящим образом выбранных контуров. [c.375] Действительно, пусть 21, 2, 2з, 24 — четыре решения уравнений (19). Общее решение этих уравнений будет линейной комбинацией этих четырех решений. Когда хтя у, изменяясь непрерывно, возвращаются к своим нервоначальным значениям, то может оказаться, что эти решения не вернутся к своим первоначальным значениям, если переменные х ту опишут путь вокруг одной из особых точек. Но тогда решения 2], 22 23,24 подвергнутся линейному преобразованию с постоянными коэффициентами здесь имеется аналогия с обычными линейными дифференциальными уравнениями. [c.375] Установив это, рассмотрим четыре системы, аналогичные уравнениями (19), но с различными постоянными а, Р, у, и допустим, что разность значений а для двух из этих систем равна целому числу (то же самое справедливо и для Р, у, у ). [c.375] Можно легко получить тот же результат из интеграла (21), который позволяет эффективно получать соотношения (22). Дальше мы вернемся к этому вопросу. [c.376] Может показаться, что этот результат, весьма важный для общей теории гипергеометрических рядов, не представляет интереса для интересующего нас частного случая, в котором эти ряды приводятся к целым многочленам. Но следует заметить, что эти многочлены могут быть весьл1а высокой степени, поскольку число т из 259, от которого зависят степени многочленов, может быть очень большим, между тем как степени многочленов В из равенства (22) остаются ограниченными, если разности между а, Р, V и у остаются целыми конечными числами, особенно если эти разности равны О или 1. Это дает возможность установить между гипергеометрическими многочленами Аппеля совокупность рекуррентных соотношений, которые существенно облегчают вычисления. [c.376] Эти рекуррентные соотношения аналогичны соотношениям, установленным Гауссом для гипергеометрических рядов одной переменной ). [c.377] Если рассматривать временно и и у как прямоугольные координаты и приравнять нулю эти множители, то мы получим уравнения двух прямых и двух гипербо.1. Особая точка появится, если гиперболы касаются или если три из этих множителей одновременно обращаются в нуль. [c.377] Когда переменная ж делает один оборот около начала, два из частных решений уравнений (19) не изменяются, а другие два умножаются на постоянный множитель. Когда же ж и делают оборот вокруг особой точки, удовлетворяющей уравнению (23), то три частных решения не изменяются, а четвертое умножается на постоянный множитель. [c.377] Вернуться к основной статье