ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Том II РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ Проблема возмущающей функции из "Лекции по небесной механике " Раньше было показано, что разложение (2) возможно, но не было показано, как получить это разложение практически. Этой задачей, важное значение которой легко понять, мы и будем теперь заниматься, но сначала укажем ее различные случаи. [c.314] Во всех трех случаях мы разлагали возмущающую функцию на две части — главную и дополнительную. [c.314] Перейдем к дополнительной части возмущающей функции. С переменными 30 мы вывели в 38 выражение этой дополнитель-ний части и затем показали также, каким образом можно перейти от разложения главной части к разложению полной возмущающей функции и, следовательно, к разложению дополнительной ее части. Дальше мы вернемся к этому вопросу. [c.314] Таким образом, задача приводится к разложению выражения (5), которым мы будем главным образом заниматься. Мы увидим, как можно перейти от разложения выражения (5) к разложению дополнительной части в различных формах и какие суще-стБуют соотношения между разложениями различных выражений (5), (6), (7) и (7 ). [c.315] Очевидно, что применение той или иной системы переменных приводит к различным разложениям Бозмущающей функции. К счастью, легко перейти от одного разложения к другому. [c.315] Применение канонических элементов заключается в том, что уравнения движения задачи сохраняют каноническую форму. Между тем астрономы чаще всего применяют эллиптические элементы, и в этом случае уравнения не сохраняют каноническую форму. Тем не менее, как мы видели в 81, уравнения всегда представляются в следующей форме. [c.315] Полученные таким методом уравнения могут быть названы уравнениями Лагранжа. [c.316] В случае канонических переменных и канонических уравнений правые части уравнений содержат только одну из частных производных функции Р, умноженную на 1. Наоборот, в случае эллиптических переменных и уравнений Лагранжа правые части содержат несколько частных производных, умноженных на коэффициенты, также зависящие от эллиптических элементов. Мы не будем выписывать здесь уравнения Лагранжа, а ограничимся, как и в 81, ссылкой на трактат Тиссерана (т. I, стр. 187). [c.316] что было установлено в предыдущих главах при помощи канонических уравнений, очевидно, может быть получено и при помощи уравнений Лагранжа, но это требует выполнения длин ных выкладок. Более того, в практических вычислениях применение канонических уравнений сокращает громоздкость выкладок, но различие начинает становиться ощутимым лишь в третьем приближении, тогда как обычно мы останавливаемся на втором. [c.316] Как бы то ни было, для астрономов эллиптические элементы являются более привычными и в большинстве работ, посвященных разложению возмущающей функции, использованы именно эллиптические элементы. Может быть, было бы нетрудно получить разложения, пользуясь каноническими элементами с самого начала. Но тогда нужно было бы заново выполнить уже сделанную работу, а поэтому лучше использовать результаты, уже полученные нашими предшественниками. К счастью, как мы уже говорили, легко перейти от разложения, в котором использованы эллиптические элементы, к разложению, в котором использована какая-либо система канонических элементов. [c.316] И наклонностей играет главную роль. Именно поэтому мы оставляем ее в стороне. [c.317] Применение этих переменных мало пригодно при интегрировании, хотя Ганзен и извлек из этого некоторую пользу, но зато разложение, опирающееся на эти новые переменные, получается намного легче,чем при использовании обычных эллиптических переменных. Легко перейти от одной формы разложения к другой, а именно, через посредство первого разложения наиболее удобно перейти ко второму. Это служит обоснованием для детального изучения первой формы разложения. [c.317] Главным образом мы будем рассматривать, как можно перейти от одной формы разложения к другой. [c.317] Наша задача состоит в том, чтобы определить функции В, С, В, С. Но она может быть рассматриваема различными способами. [c.318] Тогда мы получим аналитические формулы, пригодные во всех случаях, и которые в дальнейшем могут быть применены в каждом частном случае, лишь бы эксцентриситеты и наклонности были малы. При этом возникает вопрос об условиях сходимости этих разложений, и это один из вопросов, который будет нами рассмотрен. [c.318] Но если эксцентриситеты и наклонности малы, то член разложения тем меньше, чем выше его степень. Таким образом, будем иметь достаточно хорошие приближенные значения коэффициента В или С, если ограничимся членами, степени которых точно равны I А 1 — А 2 . Эту совокупность членов можно назвать главной частью коэффициента В или С. Представляет интерес исследовать, к чему приводится возмущающая функция, если в формуле (12) заменить каждый из коэффициентов его главной частью. [c.320] что мы сказали, имеет место и в том случае, если разлагать не по степеням эксцентриситетов и наклонностей, а по степеням величин I и т]. [c.320] Точное вычисление коэффициента В в этом случае будет очень громоздким, так как для этого необходимо предварительно вычислить предыдущие члены, которые непосредственно не нужны. Можно этого избежать, пользуясь приближенными формулами, пригодными лишь для членов высших степеней и основанными на свойствах функций с очень большими номерами, причем эти формулы или дают достаточное приближение, или позволяют узнать, будет ли данный член в данном вопросе существенным и, следовательно, нужно ли вычислять его точно. [c.320] Вернуться к основной статье