ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамика одномерной решетки из "Элементарные возбуждения в твёрдых телах " Мы начнем изучение фононов с краткого рассмотрения динамики решетки и квантования фононного поля. Читателю, не знакомому с этими вопросами, мы рекомендуем обратиться сначала к стандартным учебникам (например, к книгам Пайерлса [1] или Займана [2]),-где можно найти более подробное изложение как математической, так и физической стороны дела. [c.31] Интересуясь в основном движением решетки, мы ограничимся в этой главе только той частью гамильтониана (1.4), которая описывает взаимодействие ионов Яюп. Позже (в гл. V) мы вернемся к изучению совместного движения электронов и ионов в металлах. [c.31] Большинство характерных черт фононов можно уяснить себе на примере изучения одномерного твердого тела, т. е. линейной цепочки атомов. По этой причине мы и начнем с рассмотрения одномерной задачи, а затем произведем необходимое обобш,ение на трехмерный случай. [c.31] Будем считать, что смещения ионов из положений равновесия малы, так что любую величину, зависящую от можно разложить в ряд Тэйлора по ЬЯп- В частности, и потенциал У(У г — можно разложить в ряд Тэйлора около равновесного расстояния между ионами, Я й — / jo. [c.32] линейные по ЬЯи выпадают из (2.3) в силу условия равновесия V( i — j)/ 3 i = 0 (в равновесии суммарная сила, действующая на любой атом, равна нулю). Второй член в выражении (2.3) есть константа и его всюду можно опустить. [c.32] ХОТЯ бы потому, что они дают простой способ нумерации допустимых состояний, в нашем одномерном случае мы рассматриваем длинную цепочку . Потребуем, чтобы при перемещении вдоль цепочки на расстояние Ь = Ма (где N—целое число) значение любой физической величины, скажем смещения решетки, не менялось. Исследование формулы (2.10) показывает, что при этом кЬ = 2пп, где п — целое число, т. е. [c.34] Таким образом, число независимых значений к равно числу ионов в цепочке длиной Ь. [c.34] Как и должно быть, сюда входят только расстояния между атомами. [c.35] Весьма полезно явно вычислить правую часть (2.15) для случая, когда атомы взаимодействуют только со своими ближайшими соседями. Этот расчет предлагается сделать самому читателю в качестве задачи. [c.35] При желании можно было бы рассматривать свойства квантованных волн решетки с помощью гамильтониана (2.20) и правил перестановки (2.22). Куда более удобно, однако, перейти к другому представлению, в котором волновые функции зависят только от числа квантованных волн решетки, имеющихся в наличии в данных условиях. Квантованная волна решетки называется фо-ноном. В этом представлении интересующие нас операторы суть не координаты и импульсы волн решетки, а операторы, изменяющие число фононов. [c.37] Описание различных свойств операторов тл. и собственных функций гамильтониана (2.25) можно найти в любом стандартном учебнике квантовой механики [4]. [c.37] Из вида пространственной зависимости смещений при нормальных колебаниях непосредственно следует, что не все векторы к являются независимыми. Именно все векторы к, отличающиеся друг от друга на вектор обратной решетки Кп, полностью эквивалентны, т. е. [c.41] Между прямой решеткой, или, как говорят, решеткой в конфигурационном пространстве, и обратной решеткой имеется весьма близкое соответствие. Так, например, решетка, обратная гранецентрированной кубической решетке, является объемноцентрированной кубической и наоборот ). [c.42] Кружки соответствуют узлам решетки жирные линии —границам первой зоны Бриллюэна тонкие линии —перпендикуляры, проведенные через середины отрезков, соединяющих точку к=0 с узлами решетки. [c.43] Иногда В качестве первой зоны берут иную совокупность векторов к, эквивалентную указанной выше, например совокупность векторов внутри параллелепипеда, построенного на векторах Ь1, Ьг, Ьз. Эта совокупность, однако, всегда включает точку к=0. [c.43] Волновые функции фононного поля можно построить таким же образом, как и в одномерном случае. [c.45] Ограничение Ф1 в суммах теперь уже не нужно, так как при г=/ суммы в (2.53) взаимно уничтожаются. Суммирование по к в правой части (2.53) распространяется на все возможные значения к, так как это суммирование происходит от разложения потенциала У г) в ряд Фурье. [c.46] В этом приближении теория содержит лишь некоторое ограниченное число силовых постоянных. Их значения следует выбрать так, чтобы теоретические результаты оказались в соответствии как с данными по измерению упругих констант ), так и с любой имеющейся информацией относительно спектра коротковолновых фононов (экспериментальные результаты, касающиеся этого спектра, будут обсуждаться в 5). Таким путем удается выяснить довольно много общих закономерностей, касающихся влияния периодичности в расположении ионов на спектр фононов [7]. Кроме того, успех или, наоборот, неудача при объяснении экспериментальных данных на основе данной феноменологической модели позволяет сделать определенные заключения относительно области действия эффективных межатомных сил. Мы еще вернемся к этому вопросу в 5. [c.48] ВЛИЯЮТ на продольные колебания ионов. При своем движении ион сопровождается экранирующим облаком электронов. В результате этого экранирования частота длинноволновых продольных колебаний меняется с Яр на яА. В гл. V мы покажем более или менее подробно, как это происходит. [c.50] Вернуться к основной статье