ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные колебания двух масс на упругой связи из "Теоретическая механика Часть 2 " Перейдем теперь к изучению колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы. Откладывая исследование общего вопроса о колебаниях систем с любым числом степеней свободы до следующей главы, остановимся сейчас на простейшем и вместе с тем практически важном частном случае системы, имеющей две степени свободы. Мы начнем с рассмотрения простого примера. [c.417] Представим себе груз М], подвешенный к неподвижной точке О на винтовой пружине к грузу Мх посредством второй пружины подвешен /а груз М2 (черт. 224). Рассмотрим собственные вертикальные колебания этой системы около ее равновесного положения. [c.417] Обозначим массы грузов М и через и Отз, их веса—через и Р2 массами пружин будем пренебрегать. [c.417] На черт. 224, а изображено равновесное положение нашей системы. Представим себе, что система выведена из этого равновесного положения и предоставлена самой себе. Начнутся собственные колебания системы под действием упругих сил пружин. Положение системы, занимаемое в некоторый момент во время этих колебаний, изображено на черт. 224, Ь. Составим дифференциальные уравнения движения нашей системы. [c.417] Эти два гармонических колебательных движения нашей системы называются ее главными колебаниями-, частоты XI и Х получают название собственных частот системы. [c.420] Мы не получили -никакого условия, которое налагало бы ограничение на выбор постоянной в частном решении (3). Отсюда следует, что начальные фазы и 2 главных колебаний нашей системы остаются совершенно произвольными. Этого нельзя сказать про амплитуды и колебаний грузов и Жз в первом главном колебании и про амплитуды и колебаний тех же грузов во втором главном колебании. [c.420] Обращаясь теперь к уравнениям (10), мы видим, что в первом главном колебании перемещения обеих масс и x одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений это значит, что оба груза и одновременно проходят через свои равновесные положения и одновременно достигают наи-больщих отклонений от равновесных положений. То же замечание на основании уравнений (11) мы можем сделать и относительно второго главного колебания. [c.421] Отсюда следует, что в первом главном колебании перемещения д 1 и Х2 всегда одного знака, а во втором главном колебании они всегда противоположных знаков. Это значит, что в первом главном колебании оба груза и движутся всегда в одном направлении (т. е. находятся в одной фазе) во втором главном колебании — в противоположных направлениях (т. е. находятся в противоположных фазах). [c.421] Само собой понятно, что произвольные постоянные аз, р1, рз должны быть определены по начальным условиям, т. е. по начальным значениям величин и Хз и их производных по времени. В частности, мы можем подобрать такие начальные условия, чтобы было аз=0 тогда уравнения (12) превращаются в уравнения (10), и мы возвращаемся к первому главному колебанию нашей системы. Чтобы осуществить второе главное колебание, придется подобрать такие начальные условия, чтобы было а1 = 0. [c.422] Следовательно, при первом главно колебании амплитуда колебаний груза Жа в 1,б18 раза больше амплитуды колебаний груза М , при втором главном колебании амплитуда колебаний груза составляет 0,618 амплитуды колебаний груза М . [c.423] Полезно изобразить полученные сейчас результаты графически. Возьмем первое главное колебание нашей системы. Изобразим на черт. 225, а нашу систему в ее равновесном положении и отложим от равновесных положений грузов и амплитуды колебаний этих грузов в произвольном масштабе (приняв амплитуды груза хотя бы за единицу) в горизонтальном направлении. [c.423] Соединив прямыми линиями неподвижную точку О с концом амплитуды груза М , а также концы амплитуд грузов и М2 между собой, получаем график, дающий возможность легко находить амплитуду колебаний любой точки верхней или нижней пружины эта амплитуда изобразится графически в принятом масштабе горизонтальной координатой соответствующей точки той или другой прямой. Г рафик, изображенный на черт. 225, а, дает форму первого главного колебания системы. [c.423] На черт. 225, Ь построен график, дающий форму второго главного колебания. Так как отношение амплитуд грузов М2 и Мх в этом случае равно-отрицательному числу —0,618, то при построении графика мы откладываем амплитуды в противоположные стороны. Легко усмотреть, что одна точка нижней пружины имеет амплитуду, равную нулю такая точка называется узловой точкой или узлом. [c.423] первое главное колебание не имеет узла при втором главном колебании имеется один узел. [c.423] Подчеркнем еще раз, что форма главного колебания не зависит от абсолютного значения амплитуд грузов Мх и М2] как видно, форма главного колебания целиком определяется отношением этих амплитуд. [c.423] Вернуться к основной статье