ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Статический коэффициент. Предельная нагрузка. Теорема о единственности предельной нагрузки. Кинематический коэффициент. Основная теорема о предельной нагрузке. Теорема о существовании девиатора напряжений для предельной нагрузки Стационарные течения из "Механика жесткопластических сред " Интегральные представления для вектор-функций. Неравенсте Корна. Локальная структура пространств Вр (со). Теоремы существовании минимума функционала. [c.38] В связи с этим возникают следующие вопросы. [c.38] Настоящий параграф и посвящен рассмотрению этих вопросов. [c.39] Для ответа на поставленные вопросы полезно иметь представление для полей скоростей через соответствующие им тензоры скоростей деформаций. Эти представления играют важную роль в связи с разрешимостью задачи о медленных движениях, при получении известного неравенства Корна, при построении теории двойственности — аналогов принципа Кастельяно в теории упругости и в ряде других вопросов. Такого типа интегральные представления являются одним из существенных моментов при доказательстве теорем вложения [79]. [c.39] Интегральным представлениям функций посвящена обдшрная литература. Наиболее полно эта проблематика освещена в [80]. Ниже будем следовать в изложении этих вопросов работам [81, 82]. Интегральные представления, аналогичные найденным в [81, 82]. ранее были получены в [83]. [c.39] Здесь О (х, а) — расстояние от точки х до границы области со в направлении а, 8 — телесный угол, под которым видна область со из точки х, т. е. часть поверхности единичной сферы, содержащейся в й8 — элемент площади поверхности единичной сферы. [c.41] Из вывода (3.9) ясно, что функции В] , Кц могут быт эффективно найдены, хотя, конечно, далеко не одиозная но. [c.42] Представление вида (3.10) можно получать и при других краевых условиях для незвездных областей, используя разбиение исходной области на звездные составляющие. [c.43] Представление компонент векторного поля через более общие системы дифференциальных операторов от них получены в [86]. [c.43] Приступим теперь к исследованию локальной структуры пространств Вр (со). Для этого рассмотрим неравенство Корна [81—86]. [c.43] Локальная структура пространств Нр (со) ясна. Именно, это те и только те вектор-функции, компоненты которых принадлен ат скалярным пространствам Соболева И р (со). Таким образом, используя теоремы вложения, можпо получать свойства следов вектор-функций из Яр (со) па многообразиях меньших размерностей, доказывать непрерывность различных линейных функционалов на Нр (со) и т. д. [c.43] В дальнейшем часто будет использоваться понятие слабой сходимости последовательности элементов банахо-па пространства. Введем определение этого понятия. [c.43] В пространствах Нр ( о). Здесь со — ограниченная облает и со — произвольная ее подобласть с достаточно регуляр ной границей д(л. [c.44] Доказательство (3.11) основано на интегральном пред ставлении (3.9). [c.44] Из неравенства (3.11) следует, что если векторное поле н, (х) в окрестности со некоторой точки ж принадлежит /,р (со ) и для него конечна преднорма и Ьр(щ ), то компоненты этого векторного поля имеют обобщенные производные первого порядка, принадлежащие Lp (со ). [c.45] Условие 1 и Ьр( о) = О для и (ж) из Яр (со) означает, что ад (х) почти всюду совпадает с распределением скоростей движения области со как твердого тела. [c.45] Неравенство (3.12) показывает, что в этом случае преднорма I и Ьр(щ) является нормой. В результате, пз рассмотрения исключаются движения со как твердого тела. [c.45] При выполнении (3.12) легко ответить на вопрос о том, когда линейный функционал (2.21), порождаемый внешними нагрузками (F, Р), является непрерывным на Dp (со). Именно, в силу (3.1Ь) этот вопрос решается на основании скалярных теорем вложения. В частности, этот функционал всегда непрерывен при условии ограниченности функций jP и Р. [c.45] Это неравенство означает, что вектор-функции ад (х), в дящие в и , суммируемы в области со и линейный фуг ционал, связанный с объемными силами, непрерывен в щ странстве (со) при ограниченной Р (х). [c.46] Это неравенство вытекает из свойств интегрального об ратора (3.10) с ядром типа потенциала [87]. [c.46] Вернуться к основной статье