ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип виртуальных мощностей для медленных движений Геометрическая интерпретация проблемы минимума функционала. Уравнение Эйлера для недифференцируемого функционала. Эквивалентность принципа виртуальных мощностей задаче о минимуме функционала Теоремы существования из "Механика жесткопластических сред " П 1ипцип виртуальных мощностей. Вязкие сплошные среды. Монотонные. многозначные операторы. Преобразование Юнга. Вязко- и же-сткопластические среды. Условие текучести и ассоциированный закон. Теоре.щы единственности и постулат Друкера. [c.11] Предноложение о том, что является линейным многообразием, приводит к наиболее простому понятию вариации кинематически допустимых полей скоростей, и, в то же время, этого предположения достаточно для рассмотрения весьма широкого класса конкретных задач. [c.12] принцип виртуальных мощностей состоит в том, что вариационное тождество (1.1) выполняется для всех ъ х, г) из Я,. [c.12] В дальнейшем принцип виртуальных мощностей будет рассматриваться в качестве основного исходного динамического принципа для описания движений сплошной среды. [c.12] Конечно, по-видимому, более естественно при постановке задач механики сплошных сред исходить из локальных соотношений. Само понятие тензора напряжений является следствием принципа локализации Коши [53]. Далее, от этих локальных соотношений интегрированием можно перейти к вариационному тождеству (1.1), учитывающему уже конкретную постановку краевой задачи. [c.12] Это затруднение можно обойти, рассматривая принцип виртуальных мощностей в качестве основного исходного фундаментального соотношения. Тогда краевые условия, связанные с напряжениями, являются следствием вариационного тождества (1.1) и кинематических краевых условий, определяющих 7 . В этом, собственно, и состоит техническое преимущество формулировки задач с использованием принципа виртуальных мощностей. [c.13] Трудности, связанные с формулировкой краев] 1х условий в напряжениях, возникают, например, в задачах с частичной фиксацией поля скоростей на (9со , т. е. когда на границе области задается не полностью поле скоростей, а только его проекции на одно или два независимых направления в каждой точке. [c.13] Конкретным примером может служить классическая задача Сен-Венана о кручении призматических стержней. Кинематические краевые условия в этой задаче состоят в том, что проекция поля скоростей в торцах на поперечное сечение стержня является полем вращения твердого тела, а на боковой поверхности поле скоростей может быть произвольным. При локальной постановке задачи указанных краевых условий па торцах совместно с условием отсутствия нагрузок на боковой поверхности стержня недостаточно для выделения единственного решения уравнений движения. К ним должно быть еще добавлено краевое условие на напряжения в торцах стержня. При формулировке этой же задачи с использованием принципа виртуальных мощностей не возникает необходимости в нахождении соответствующего условия на напряжения. [c.13] В заключение обсуждения принципа виртуальных мощностей заметим, что в дифференциальной постановке можно описать более широкий круг задач механики сплошных сред по сравнению с классом задач, описываемых в рамках вариационного тождества вида (1.1). Более общие формы фундаментального вариационного тождества, необходимые для описания более широкого класса механических процессов, рассматривались в работах Л. И. Седова и его учеников [32, 54]. [c.14] Перейдем теперь к описанию класса моделей сплошных сред, включающего в себя классическую модель вязкой жидкости, различные модели нелинейно-вязких жидкостей, жесткопластические и вязкопластические среды. [c.14] Выбор конкретной модели сплошной среды осуществляется заданием связи между динамическими и кинематическими характеристиками движения. [c.14] В принципе виртуальных мощностей (1.1) в силу условия несжимаемости тензор напряжений сГг можно заменить на его девиатор 81 . [c.14] Рассмотрим множество девиаторов (ж, t) = А [е (ж, )). Сечением в этом множестве будем называть такой девиатор 5 х, 1), что 5 (зс, ) ВХОДИТ В А (в х, I)) для всех 5С, t. [c.14] Условие единственности решения динамической задачи будет выполнено, если предположить, что А является монотонной функцией (оператором). [c.15] Эти определения монотонности были введены для однозначных отображений. Понятие дюнотонности естественным образом переносится и на случай многозначных отображений. [c.15] Неравенство (1.6) в теории пластичности известно под названием постулата Друкера [55, 56]. Этот постулат является одним из наиболее существенных общих предположений теории пластичности и широко обсуждался в литературе [41, 42, 57—59]. Как будет показано ниже, соотношение (1.6) является достаточным для обеспечения единственности решений динамических задач в случае вязких сред, и, в частности, для жестко- и вязкопластических материалов. [c.16] Однако неизвестно, является ли постулат Друкера и необходимым условием единственности. [c.16] С физической точки зрения естественным требованием, предъявляемым к моделям сплошных сред, представляется требовапие единственности решения динамической задачи. Конкретная форма соответствующих ограничений, конечно, будет изменяться при переходе от одного класса моделей к другому поможет быть истолкована как аналог постулата Друкера. [c.16] Например, для классической максвелловской вязко-упругой среды условие (1.6) не выполняется, так как изменяется и форма определяющих соотношений (1.2). Тем не менее и в этом случае можно указать некоторое условие па связь между напряжениями и скоростями деформаций, обеспечивающее единственность решения динамической задачи. [c.16] Перейдем теперь к анализу конкретных примеров многозначных монотонных операторов, играющих важную роль в теории пластичности. [c.16] Вернуться к основной статье