ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Электропроводность из "Теория твёрдого тела " В 60 будет рассмотрена удельная электропроводность металлов. Мы вычислим этот кинетический коэффициент в различных приближениях и результаты сравним с экспериментом. Мы покажем, что при определенных предпосылках можно использовать приближение времени релаксации. Дальнейшие кинетические явления мы рассмотрим в 61. При этом мы ограничимся рассмотрением закона Видемана —Франца и изменением сопротивления в магнитном поле. Наконец, в 62 мы дадим обобщающий обзор возможностей дальнейшего развития использованных здесь приближений. [c.230] Плотность электрического тока может быть записана как произведение заряда электрона на среднюю скорость электронов и на их концентрацию. Если определить среднюю скорость электрона в поле 1 В/см как подвижность [х, то а может быть записана как произведение a=en i. Влияние электрон-фононного взаимодействия при этом целиком включено в [х, тогда как концентрация электронов и их температурная зависимость определяются статистикой зонной модели. Теперь мы можем уже ответить на часть поставленных выше вопросов или, по крайней мере, точнее их определить. [c.231] Закон Ома справедлив, если концентрация электронов и их подвижность не зависят от поля. Первое условие выполняется в однородных твердых телах при не слишком сильных полях. Независимость подвиж1Юсти от поля, напротив, должна быть специально исследована. [c.231] Первая классическая теория электропроводности была развита ДруДЬ. В ней предполагалось, что поведение всех электронов в электрическом поле одинаково. Взаимодействие с решеткой осуществляется процессами столкновений, при которых происходит обмен энергией и импульсом. Между двумя столкновениями электрон свободно ускоряется внешним иолем. Совместное действие ускорения и столкновений приводит к некоторой средней постоянной скорости, которая линейно изменяется с полем (закон Ома). Закон Видемана —Франца также легко следует из теории. Однако ничего нельзя сказать о температурной зависимости концентрации электронов. Также нельзя вывести температурную зависимость подвижности. При простых предположениях о температурной зависимости вошедших параметров температурная зависимость подвижности получается неправильной, ого не смогли изменить и дальнейшие улучшения теории, учет распределения скоростей электронов (Лорентц), привлечение статистики Ферми (Зоммерфельд). Несмотря на некоторые очевидные успехи теории Друде —Лорентца —Зоммерфельда, для решительного ее улучшения потребовалось заменить примитивное представление о соударении электронов с ионами решетки на электрон-фононное взаимодействие. Необходимую для этого технику мы уже приводили в предыдущих параграфах этой главы. [c.232] Начнем с вычисления электропроводности для случая взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами. Для этого надо сразу же сделать два допущения. Мы предполагаем, что система фононов находится в равновесии, и пренебрегаем процессами переброса. Тогда столкновительный член уравнения Больцмана задается (52.10), где вероятности переходов надо использовать из (49.14). Для п, в (49.14) мы подставим распределение Бозе. Для Пк надо использовать (возмущенную) функцию распределения f k). Матричный элемент, вошедший в вероятность перехода, задается (49.9). В качестве обычного упрощения полагаем, что компоненты Фурье не зависят от д. Это необходимо для того, чтобы вообще иметь возможность провести нижележащие интегрирования. Это приближение совершенно достаточно, пока мы хотим вычислить температурную зависимость электропроводности, но не ее абсолютное значение. [c.232] В константу С мы опять включили все встретившиеся константы. [c.234] Уравнение (60.6) со столкновительным членом (60.5) может быть решено с помощью метода итерации. Для точного проведения решения см., например, Вильсона [33]. [c.234] На рис. 62 нанесено приведенное сопротивление р(7 )/р(0о) = = а(0д)/а(7 ) как функция от температуры для некоторых простых металлов. Хотя температурная зависимость a T Jг T) выполняется (соотношение Блоха — Грюнайзена), но эти результаты непригодны для общей теории явлений переноса в металлах. Уравнение (60.7) дает функцию распределения толь о для случая одного внешнего электрического поля. Если наряду с в правой части (60.6) появляются температурные градиенты или магнитное поле, то провести метод итерации невозможно (ср. с приведенным ниже). [c.234] Это время релаксации, пригодное только для вычисления а, бесполезно. Для температурного интервала напротив, можно определить время релаксации, пригодное во всех случаях. [c.235] В этом температурном интервале в (60.5) можно разложить подынтегральную функцию по степеням г = 0д/Г и разложение оборвать в начале. [c.235] Мы уже отмечали выше, что метод итерации, который привел к выражению (60.7), ограничен случаем, когда внешней силой является только электрическое поле. Если, наряду с электрическим полем, появляются другие внешние силы, то при низких температурах, т. е. в случае, когда из (60.5) нельзя определить время релаксации, надо использовать вариационный метод, рассмотренный в 54. Мы здесь приведем ход решения для случая электрического поля и температурного градиента, когда оба направлены по оси X. [c.236] Запишем столкновительный член (60.5) в виде — k E L E), где L—интегральный оператор, определяемый из (60.5), который действует на E) = — f—f ) kx(dfJdE). [c.236] Сравнив оба уравнения (60.16) и использовав (60.18), получим, что B, = i+l. [c.238] С помощью (60.21) и (60.22) можно определить все коэффициенты в разложении в ряд по степеням для обеих частей с(т1). Посредством этой функции из (55.1) и (55.2) могут быть определены плотность электрического тока и плотность теплового потока. [c.238] Проведение этого расчета быстро усложняется. Поэтому в большинстве случаев ограничиваются вкладом первого или двух первых членов разложения. [c.238] Это точно такой же результат, что и (60.7). Приведенный там метод итерации, таким образом, идентичен нулевому приближению вариационного метода. Члены с г=1 и т. д. дают уточнение этого приближения. [c.238] Вернуться к основной статье