ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Универсальное решение уравнений нелинейной теории упругости. Теорема Эриксена из "Нелинейная теория упругости " Как говорилось в И, понятие о сильной эллиптичности согласуется с представлениями о том, как должен себя вести материал . Более подробные сведения могут быть Гюлучены при рассмотрении конкретных материалов по явному заданию э (1 , 1 , /3). [c.131] Искомое решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в одном из перечисленных в 10 видов (при Ь=--0). [c.131] Сложнее формулировка второй краевой задачи. Бесперспективно было бы требование удовлетворить уравнениям статики на поверхности О, не ограничивая класса рассматриваемых поверхностных нагружений — наперед неизвестна не только эта поверхность, но и какие направления примут заданные на ней силы. Поэтому ограничиваются рассмотрениями мертвого и следящего нагружений. [c.131] По заданию внешних сил вектор места К в актуальной конфигурации, как и в линейной теории, определяется с точностью до жесткого перемещения [см. (1.4.22)]. Этот произвол можно использовать, чтобы удовлетворить условию (5) в предположении, что силовой тензор (2.1.16)—неособенный это доказывалось в гл. 3, 3. Осложнение может возникнуть, если силовой тензор В —особенный ((1е1В = 0). Об этом см. гл. 6, 11. [c.132] Ошибочно было бы ожидать единственности решения краевых задач нелинейной теории упругости. Об этом свидетельствуют простые примеры. [c.132] Неединственность решения второй краевой задачи иллюстрируется примером выворачивания наизнанку полусферического купола, когда наружная й внутренняя его поверхности в отсчетной конфигурации становится внутренней и наружной в актуальной внешние силы отсутствуют в той и другой конфигурациях, но в актуальной конфиг , рацпп возникает напряженное состояние, хотя отсчетная могла быть и натуральной. Аналогична задача о выворачивании наизнанку полого цилиндра [см. гл. 7, 12]. [c.133] К верхнему и нижнему 0 и 0. торцам призматического стержня приложены параллельные его образующим мертвыех. силы, направленные на 0 вверх, на Oj —вниз — стержень растянут. Во втором мысленном опыте образец повернут на 180°, торец Oj становится нижним, 0. — верхним, но силы сохраняют направления, так как они мертвые . Образец сжат. Это — пример неединствснности решения второй краевой задачи при мертвом поверхностном нагружении. Здесь, конечно, не идет речь об образце в нагрузочном устройстве создаваемое устройством нагружение не мертвое оно сохраняет направление независимо от ориентированного образца, последний или сжат, или растянут. [c.133] Эффективное определение слагаемых уже второй степени по Vu, эффектов второго порядка , достаточно сложно, попытка идти дальше приводит к труднообозримым выражениям сил в правых частях линейных уравнений. [c.134] В ЭТОЙ процедуре поверхностные силы соответствовали условиям задачи. Успех этого последнего шага, конечно, связан с назначением вектора места К, согласуемым с интуитивно предвиден-нь.ли свойствами напряженного состояния, с его симметриями и т. д. Можно ожидать часто удачи в определении сил не на всей поверхности О в актуальной конфигурации, а на значительной его части на остающейся части тогда довольствуются требованием равенства главного вектора и главного момента получаемых распределений поверхностных сил нх известным значениям. Пример —боковая поверхность призматического достаточно длинного тела, на которой поверхностные силы имеют заданное распределение, и его торцы на них добиваются выполнения указанных интегральных условий. Классическим примером такого построения может служить теория кручения. [c.135] В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135] ПО исходному заданию меры деформации, для других потребуется другое ее задание. [c.136] л — линейные функции а, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, что и требовалось. [c.138] Вернуться к основной статье