ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская задача для непрерывно-неоднородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией из "Теория упругости анизотропного тела Издание 2 " Поставим задачу следующим образом. Имеется тело бесконечной длины, ограниченное поверхностью произвольного цилиндра (в частности, эта поверхность может иметь бесконечно длинные плоские участки и даже быть не криволинейной, а плоской — бесконечный слой, бесконечное полупространство и т. п.). Тело является однородным и обладает цилиндрической анизотропией самого общего вида, с осью анизотропии g, параллельной образующей. Действуют поверхностные силы, распределенные по цилиндрической поверхности, и объемные силы, причем и те, и другие действуют в плоскостях, нормальных к образующей и не меняются вдоль образующей, а объемные силы, кроме того, имеют потенциал ). [c.212] Область поперечного сечения может быть какой угодно — конечной, бесконечной, односвязной или многосвязной. Примем плоскость какого-нибудь поперечного сечения за координатную плоскость г0 или ху, за начало координат возьмем точку О, в которой ось g пересекает данное сечение ось z направим по оси анизотропии, а оси х я у направим произвольно, если область бесконечна, или параллельно главным осям инерции сечения, если эта область конечна. Ось х одновременно будем считать и полярной осью цилиндрической системы координат и от нее будем отсчитывать полярные углы 0 (расстояние г отсчитывается, как всегда, от начала координат О), При решении некоторых вопросов для случая, когда область сечения конечна, мы будем пользоваться еще системой координат (декартовых) О, х, у у которой начало О совпадает с центром тяжести сечения, а оси х, у направлены по его главным осям инерции. Координаты центра тяжести О в системе О, х, у, ъ будем обозначать через 1иг (рис. 67). [c.212] В этих уравнениях, самое большее, 21 коэффициент, но по В. В. Новожилову, рассуждения которого можно перенести и на случай цилиндрической анизотропии, независимых (инвариантных) коэффициентов в общем случае будет 18 [27]. [c.213] Напомним одно важное обстоятельство, о котором уже говорилось в 10. Если ось g проходит вне тела или внутри цилиндрической полости, то никаких дополнительных ограничений на aij можно не накладывать коэффициенты могут быть какими угодно. [c.213] Но если ось g проходит не в полости, а по телу, тогда непременно aij должны быть связаны добавочными зависимостями, подробно разобранными в главе 1 ( 10) в противном случае задача не будет иметь физического смысла, так как решается на основании уравнений, заключающих в себе противоречия. [c.213] Задача сводится к определению двух функций напряжений, удовлетворяющих условиям (38.11) или, иначе, к граничной задаче для системы (38.10), вообще неоднородной, с известными правыми частями [20]. Найденные напряжения в каждом поперечном сечении приведутся к продольной силе Р, к изгибающим моментам с составляющими и к скручивающему моменту Эти четыре величины, одинаковые для всех сечений, определятся из равенств (23.18)—(23.21), где нужно положить А = В = = С = = О (см. также рис. 26). [c.215] И притом одинаково искривление зависит от функции IV (3-я формула (38.4)). Деформация не является плоской (в общепринятом смысле) и ее можно назвать обобщенной плоской. [c.216] Если тело имеет конечную длину и торцевые сечения закреплены, так что расстояние между ними не может изменяться, то, учитывая принцип Сен-Венана, мы можем считать, что напряжения будут такими же, как в теле бесконечной длины во всех точках, удаленных от торцов. Вблизи торцов образуются зоны местных напряжений, но как там распределятся напряжения, мы судить не можем, так как для этого у нас недостаточно данных, а принцип Сен-Венана их не дает, так как носит только чисто качественный характер. [c.216] Система (38.10) распадается на два уравнения, из ко-рых одно содержит только функцию Р, а другое — только функцию г]), а задача распадается на две 1) определение функции Р и соответствующих напряжений и 2) определение функции я]) (не связанное с нахождением Р) и соответствующих напряжений, характерных для деформации чистого кручения. Оставляя пока в стороне вторую задачу (о кручении, которой мы специально займемся в следующей главе), рассмотрим различные варианты первой задачи. [c.217] Деформация будет плоской и в случае тела конечной длины с закрепленными торцами, расстояние между которыми не может изменяться. В этом случае нужно исключить из рассмотрения зоны местных напряжений вблизи торцов, где распределение напряжений и деформаций используемым методом мы найти не можем, но вне этих зон на основании принципа Сеп-Венана деформация будет плоской и распределение напряжений — такое, как при плоской деформации. [c.218] Из условий (39.11) получаем систему трех уравнений для трех неизвестных — А, В, С. [c.219] Найдя неизвестные постоянные и функции V и V, мы можем заключить из выражений для перемеш,ений (39.12), ЧТО тело СО свободными торцами деформируется так, что ОСЬ его изгибается и испытывает продольное растяжение — сжатие, но не закручивается, а поперечные сечения остаются плоскими. [c.220] Таким образом, задача о растяжении — сжатии осевой силой и изгибе моментами стержня, обладающего цилиндрической анизотропией, оказывается родственной задаче о плоской деформации и примерно одинаковой ей по трудности. Растягивающая сила и изгибающие моменты вызывают не только нормальное напряжение в поперечных сечениях но также и напряжения аг, ( о, Тгв, характерные для плоской деформации. [c.221] Граничные условия, т. е. условия на контуре области пластинки (на срединной плоскости) по форме не отличаются от условий на контуре поперечного сечения в случае плоской деформации. [c.223] Все общие уравнения, выведенные для однородного тела с цилиндрической анизотропией, можно обобщить и на случай тела непрерывно-неоднородного с анизотропией такого же типа 120]. Последовательность вывода такая же, как и для однородного тела. Ввиду этого мы можем некоторые промежуточные выкладки опустить, а кроме того, ограничиться только телом с анизотропией частного вида — ортотропным. [c.223] Мы рассмотрим только случай плоской деформации, так как сходные два случая, как показано в 39, исследуются совершенно апалогичттылг путем. [c.223] Пусть дано тело бесконечной длины, ограниченное произвольной цилиндрической поверхностью, обладающее цилиндрической анизотропией и притом ортотропное (ось анизотропии параллельна образующей, одна из трех плоскостей упругой симметрии нормальна в каждой точке к оси анизотропии т. е. совпадает с плоскостью поперечного сечения). Примем ось g за ось 2, а плоскость какого-нибудь поперечного сечения — за плоскость ху или г0 (рис. 67). [c.224] Приведем только окончательные результаты, полученные таким же путем, как и для однородного тела. [c.224] При заданных усилиях граничные условия имеют вид (39.8). [c.225] Вернуться к основной статье