ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория простых волн, содержащих слабые ударные волГидравлические прыжки из "Волны в жидкостях " СВОЮ интенсивность до тех пор, пока поршень продолжает двигаться со скоростью согласующейся с постоянными условиями за ударной волной. [c.206] Исследуем теперь возможность изучения значительно более общего типа распространения волн, когда искажение простой волны (разд. 2.9) происходит непрерывно вплоть до момента, при котором коэффициент наклона волнового профиля стремится к бесконечности, и диффузия может стать эффективной, способствуя формированию ударной волны, т. е. по существу опять разрыва, но разрыва, интенсивность которого может возрастать до максимума по мере дальнейшего сдвига волнового профиля и затем уменьшаться, после того как поршень прекратит совершать работу над жидкостью. [c.206] К счастью, существует обширный класс важных волновых движений с участием ударных волн, где эти соотношения тем не менее выполняются с чрезвычайно высокой степенью точности, а именно те из них, в которых ударная волна остается относительно слабой. Мы отметили в конце разд. 2.10, что закон Гюгонио дает изменение энтропии на ударной волне порядка 3 , если ее интенсивность Р мала причина этого в сущности та, что площадь между прямой линией АВ (рис. 37) и кривой оказывается малой величиной порядка куба расстояния АВ при уменьшении последнего. Поэтому слабая ударная во.лна может вызывать лишь пренебрежимо малые изменения энтропии. [c.207] Это подтверждает сделанное ранее заключение, которое существенно облегчает изучение простых волн даже после появления разрыва в форме слабой ударной волны все непрерывные части волны удовлетворяют тем же законам распространения, какие были установлены в разд. 2.9. Применение этих законов к расчету искажения волнового профиля после момента, при котором предсказанный коэффициент наклона оказывается бесконечным, теперь выглядит целесообразным, потому что, если даже волновой профиль в целом, рассчитанный таким способом, принадлежит к типу, описанному (рис. 32) как невозможный , каждая непрерывная часть реального профиля должна быть частью волнового профиля, рассчитанного таким способом. [c.209] Эта улучшенная процедура исходит из того факта, что любое решение в виде простой волны, включая даже невозможное, вроде показанного на рис. 32, является точным решением уравнений движения, к которым относится уравнение сохранения массы, или уравнение неразрывности. Другими словами, такое решение удовлетворяет закону сохранения полной массы жидкости на единицу площади поперечного сечения j pdx. [c.211] Плотность р в простой волне однозначно связана со скоростью жидкости и или с избыточной скоростью сигнала v (разд. 2.9), и поэтому, когда любой волновой профиль, аналогичный изображенному на рис. 32, определяется по правилам простого сдвигового искажения, поясненным на рис. 31, легко получить соответствующее распределение плотности как функцию от х. [c.211] И единственным образом фиксировать положение разрыва, как именно то, которое не вызывает изменения интеграла pdx. [c.212] На рис. 42 показано, как легко на глаз провести вертикальный отрезок, который сохраняет неизменной площадь между кривой и осью X, потому что заштрихованные участки, заключенные между этим отрезком и кривой, лежат по разные стороны от него и имеют одинаковую площадь. [c.212] Дополнительное упрощение при практическом использовании этой процедуры связано с тем, что диапазоны изменения плотности внутри слабой ударной волны таковы, что характерное для простой волны соотношение между плотностью р и добавочной скоростью сигнала v можно с достаточной степенью точности считать линейным в этих диапазонах. Это означает, что построение, выполненное на графике зависимости р от х (рис. 42), можно непосредственно применять к графику зависимости у от Z (рис. 32), что с хорошей степенью точности дает идентичный результат (приводя фактически к выбору отрезка DFE как правильного положения разрыва на рис. 32), так как линейное преобразование ординаты (переход от р к у) не может изменить равенства площадей двух заштрихованных сегментов на рис. 42. [c.212] Хотя здесь опущен полный анализ причин, по которым введение этого дополнительного упрощения лишь незначительно ухудшает точность теории, можно отметить, что слабая ударная волна даже интенсивности 0,5 (т. е. на верхнем пределе) вызывает в атмосферном воздухе изменение избыточной скорости сигнала v, равное 0,359 с , и что отношение плотностей при этом равно рь/ра = 1,333, что только на 2,6% больше получаемого в предположении о линейной зависимости плотности от V это максимальная ошибка, выраженная в процентах, для Р 0,5. Кроме того, идея о том, что результат построения разрыва по участкам равной площади можно непосредственно применить к невозможному волновому профилю, заданному зависимостью от X, допускает проверку в особом случае (рис. 35) импульсного движения поршня в жидкость. Очевидно, это построение помещает разрыв точно в центре Z-образной фигуры на рис. 35, откуда следует, что избыточная скорость ударной волны и — q равна половине избыточной скорости сигнала Uj -f q — Со = Vy, наблюдаемой за ударной волной. Точные значения (Z7 — Со)1(щ -f q — q), вычисленные по уравнениям (205) и (206), лежат между 0,500 и 0,543 при О р 0,5 это подтверждает, что результаты теории слабых ударных волн являются хорошим приближением в этом диапазоне интенсивностей. [c.212] Из предыдущих рассуждений вытекает очень простая процедура для определения искажения волнового профиля для простых волн, содержащих слабые ударные волны. Если рассматривать волновой профиль как график зависимости избыточной скорости сигнала V от X = х — с г, то можно описать его искажение следующим образом (рис. 31) сдвиг происходит все время с единичной скоростью при условии, что там, где необходимо сохранить однозначность волнового профиля, вводится вертикальный разрыв, отсекающий участки равной площади с каждой стороны от него. На рис. 43 показано искажение волнового профиля за время рассчитанное этим способом как и на рис. 31, каждое значение V находится в точке, смещенной на расстояние VI вправо здесь, кроме того, изображены заштрихованные участки равной площади, которые отбрасываются при введении разрыва АВ. [c.213] Полезно было бы узнать, какая именно прямая (обозначим ее СВ), проведенная на исходном волновом профиле, будет переведена искажением сдвига, имеющим единичную скорость в эту вертикальную прямую линию АВ спустя время 1. Ответ на этот вопрос таков во-первых, СВ должна быть прямой, для которой величина, обратная коэффициенту наклона, равна — потому что единичный сдвиг, который увеличивает подобную величину для любой линии с единичной скоростью, Должен увеличить ее до нуля за время во-вторых, площади сегментов, лежащих между СВ и кривой но обе стороны от СВ, должны быть равны, так как обе эти площади остаются неизменными в процессе сдвига, переводящего их в равные сегменты, лежащие между АВ и искаженным волновым профилем. [c.213] Существование такой хорды D на исходном волновом профиле, удовлетворяющей этим двум условиям (величина, обратная коэффициенту наклона, есть —i, а площади упомянутых сегментов равны), служит гарантией того, что спустя время t волновой профиль будет содержать ударную волну, в которой V увеличивается скачком от своего значения в точке D до своего значения в точке С. [c.214] Эти условия дают правило Уизема, гласящее, что определенное простое построение, выполненное на исходном волновом профиле, полностью определяет будущую историю образования, роста и затухания слабого скачка внутри волны в ходе ее развития. Для каждого из последовательных значе ий t, болыних, чем время формирования ударной волны, нужно провести такую хорду, что величина, обратная ее коэффициенту наклона, равна —t, а площади двух сегментов, лежащих между этой хордой и исходным профилем по обе стороны от iee, равны между собой тогда ординаты концов построенной хорды будут указывать значения U, между которыми эта величина в ударной волне в момент времени t изменится скачком. [c.214] И опять останавливаемым. Каждая из диагональных прямых с отрицательным наклоном, выделяющая равновеликие сегменты по обе стороны от нее, указывает, какое скачкообразное, изменение у должно произойти спустя время, равное величине, обратной коэффициенту ее наклона с отрицательным знаком. Обратите внимание, как ударная волна, имеющая нулевую интенсивность в момент ее формирования о (соответствующий волновой профиль показан на рис. 31), вскоре, однако, становится существенным разрывом, на котором и меняется между своими значениями в точках А и В. Ударная волна достигает максимальной интенсивности (чему соответствует переход у от С к В) в более позднее время, равное величине, обратной коэффициенту наклона СВ, взятой со знаком минус, а затем начинает затухать до более слабого разрыва ЕР асимптотическое поведение ударной волны спустя большое время t определяется хордой ОН с очень малым наклоном. Для этих четырех хорд соответствующие волновые профили показаны на рис. 44, в видно, как ударная волна, первоначально сформировавшаяся внутри импульса сжатия, начинает продвигаться к его фронту в силу того, что ее скорость превосходит скорость сигнала перед ней, пока эта волна не превратится в головную ударную волну ЕЕ, движущуюся в невозмущенную жидкость впереди остальной части импульса. [c.215] Хотя масса тем самым сохраняется, полная волновая энергия в импульсе пропорциональна длине (221), умноженной на квадрат амплитуды (220), и поэтому стремится к нулю пропорционально скорость ее уменьшения, следовательно, пропорциональна Конечно, все рассеяние механической энергии в тепло происходит внутри ударной волны, а его скорость определяется увеличением энтропии, пропорциональным кубу интенсивности ударной волны. Тогда увеличение энтропии, согласно (220), будет пропорционально и подробное вычисление коэффициентов (действительно выполненное ниже в формулах (263) — (269) для значительно более общего случая) показывает точное совпадение между скоростью изменения полной волновой энергии импульса и скоростью диссипации внутри ударной волны как в этом предельном случае (при 1 -у оо), так и для более ранних времен. [c.216] Мы видели, что нелинейные эффекты могут привести к радикальным преобразованиям акустических волновых профилей, при которых участки сжатия переходят в разрывы, а нак.лон участков разрежения асимптотически стремится к нулю (как 1/ ). Эти преобразования уничтожают большую часть информации, характеризующей исходный волновой профиль в только что приведенном примере асимптотическое поведение зависит только от площадей Q ж.Q его положительной и отрицательной частей. [c.217] Обзор этой теории будет дан в порядке, несколько отличном от порядка в разд. 2.10 перед обсуждением механизмов, которые могли бы противостоять дальнейшему искажению волнового профиля, как только появляется нечто близкое к разрыву, перечислим условия, которым должно удовлетворять продольное движение в канале с постоянной шириной при любой разрывной волне. Как и в разд. 2.10, рассмотрим сперва разрывную волну, распространяющуюся в невозмущенную жидкость такая волна может быть вызвана импульсным вдвиганием поршня в жидкость со скоростью Пу. Можно ожидать, исходя из обсуждения в разд. 2.11, что те же самые уравнения, правильно интерпретированные, будут применимы к разрывам, появляющимся внутри непрерывного волнового движения. [c.218] Вернуться к основной статье