ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема существования для внешней смешанной динамической задачи (Ма) из "Методы потенциала в теории упругости " Эту теорему мы называем обобщенной теоремой Ляпунова — Таубера, имея в виду указанную выше аналогию. Очевидно, доказательство ее без ограничения общности можно вести в предположении (0 = 0. [c.186] Заметим теперь, что потенциалы двойного слоя V(j , ) (s=l, 2.6л). [c.189] Заменив правую часть равным значением, получим (Т У(х-, )), = (Т У(л )) ,, и теорема 10 доказана. [c.190] Теорема 11. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы уравнение 0°а) имело нетривиальное решение, является равенство параметра одной из собственных частот задачи (Г ). [c.190] Если 0)2 есть - -кратная собственная частота для задачи (Г ), то интегральное уравнение (О ) имеет V линейно-независимых решений, и они совпадают с граничными значениями решений задачи (Г°). [c.190] Теорема 12 Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения уравнения (Гд) является равенство параметра одной из собственных частот задачи (о ). [c.190] Если 0)2 есть ч-кратная собственная частота для задачи (О , то интегральное уравнение (Г ) имеет V линейнонезависимых решений, и они совпадают с граничным значением [-операции от решений задачи (Л°). [c.190] Перейдем к доказательству теоремы 12. [c.193] Этот результат (см. следующий параграф) играет важную роль в теории граничных задач эластопотенциалов. Существенно пользуется им и Вейль для своих задач в работе [4а], но без необходимых доказательств при этом в некоторых случаях, которые рассмотрены Вейлем, по крайней мере неприменимо приведенное выше доказательство. [c.198] Теорема 13. Внешняя неоднородная динамическая задача (Од) имеет, и притом единственное, решение для произвольного граничного задания класса Н и при любом значении параметра 0)2. Решение выражается потенциалом двойного слоя (первого рода), если отлично от собственных частот внутренней задачи (Г ), и линейной комбинацией потенциала двойного слоя с некоторыми потенциалами простого слоя, если есть одна из собственных частот задачи (Т ). [c.199] Теорема 14. Внешняя неоднородная динамическая задача (Т ) имеет, и притом единственное, решение для произвольного граничного задания класса Н и при любом значении параметра 0)2. Решение выражается потенциалом простого слоя (первого рода), если о)2 отлично от собственных частот внутренней однородной задачи (Д ), и линейной комбинацией потенциала простого слоя с некоторыми потенциалами двойного слоя (первого рода), если чА совпадает с какой-либо собственной частотой задачи ( ) ). [c.199] Это следует из формул биортонормируемости (5.78), которые и в данном случае, очевидно, остаются в силе. Решение уравнения (6.71) позволяет построить потенциал простого слоя V(лг ), и Т-операция над этим потенциалом в пределе извне на 5 равна вектору F x). [c.201] По теореме 10 9 настоящей главы эти же значения принимают Т-операции от W(x-, извне на 5. Отсюда ясно, что вектор ти (х) прикинет на 5 предельные извне значения, равные f(x). С другой стороны, и (лг) есть регулярное в решение динамических уравнений теории упругости и по теореме единственности является однозначно определенным решением задачи (TJ. [c.202] Теорема 15. Смешанная динамическая внешняя задача (М,) имеет, и притом единственное, решение для произвольного граничного задания класса Н. Решение выражается потенциалом простого слоя, если отличны от собственных частот задачи (D ), и представляется в виде линейной комбинации некоторых дискретных потенциалов типа простого слоя, если 0)2 совпадает с одним из исключенных выше значений. [c.202] Вернуться к основной статье