ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны Римана в несжимаемой среде при из "Нелинейные волны в упругих средах " Рассмотрим упругую среду, у которой выражение для упругого потенциала (9.1) содержит второе слагаемое, задающее волновую анизотропию, в виде произвольной функции p(ui, S), с малым множителем д (Куликовский и Свещникова [1993]). [c.365] Волны Римана представляют собой непрерывные рещения вида щ = щ в), где в - некоторая функция переменных х и t (Глава 1).- В непрерывных решениях dS/dt = О и, следовательно, в движущихся волнах Римана S = onst, поэтому в этом параграфе не будем указывать S в числе аргументов функций. Поскольку д мало, то в уравнениях ( 9.2) появятся малые члены, содержащие д множителем. Добавление этих малых членов мало изменит по сравнению со случаем 5 = 0 поведение интегральных кривых всюду, кроме малых окрестностей тех точек, в которых совпадают два собственных значения матрицы F,j . Одной из таких точек в пространстве щ всегда является начало координат, где при 5 = 0 совпадают характеристические скорости двух поперечных волн. В зависимости от вида функции F могут появиться и другие точки, обладающие указанным свойством, и даже целые поверхности. [c.365] Исследование нелинейных волн малой интенсивности (вблизи начала координат в пространстве щ) показало (Глава 3), что больщее разнообразие и качественно новое поведение вносит анизотропия в поведение квазипоперечных волн. Поэтому можно ожидать, что главные эффекты присутствия анизотропии проявят себя уже на модели несжимаемой упругой среды, где нет продольной компоненты деформации из = 0) и, соответственно, нет квазипродольных волны. Этот параграф посвящен изучению волн в несжимаемых средах. Отсутствие компоненты из позволяет вести дальнейщее исследование на плоскости и и2. [c.366] Здесь а = рос , где с - характеристическая скорость. [c.366] В точках, где совпадают интересующие нас собственные значения, (//г — / ) = 0. Уравнение = О всегда имеет решение г = 0. Кроме того, у него могут быть и другие решения. Они соответствуют точкам, в которых луч, проведенный из начала координат, касается графика /(г). [c.367] Рассмотрим для определенности вид зависимости /(г), изображенный на рис. 9.1, когда /д О и имеется один ненулевой корень г = г у функции °(г), причем считаем, что / (г ) 0. При этом на графике функции /(г) при г = г г. имеется точка перегиба, где / (г ) = 0. Полагаем, что других точек перегиба у кривой /(г) нет. В точке г величина собственного значения = / (г) имеет минимум. Очевидно, для функции dO r) выполнены неравенства (f r) О при г г, и (f r) О при г г. Вид зависимости /(г), подобный изображенному на рис. 9.1, встречается у материалов, допускающих большие упругие деформации, а также при активном нагружении многих металлов в области пластичности. [c.367] Не потребует больших усложнений рассмотрение волн в материалах с противоположным изменением направления выпуклости графика /(г) или с двумя и большим числом корней у функции (f r). [c.367] По величинам характеристических скоростей ср будем различать волны медленные с = Сх и быстрые с = С2, С2 сх. Очевидно, при выбранном на рис. 9.1 виде функции /(г) при г г радиальные волны являются медленными (с° = Сх), вращательные - быстрыми (с° = Сг), при г - наоборот. [c.368] Очевидно, особые точки расположены в областях, где (Р г) имеет порядок величины, равный д. Это выполнено, в частности, около начала координат. [c.369] Эта линия, очевидно, близка к критической окружности г = г , если / ф О, что будет предполагаться. [c.370] Собственный вектор медленных волн, соответствующих ах (верхний знак в формулах (9.5) и (9.6)),вдали от критической окружности, т.е. при с ° д, для г имеет направление, близкое к радиусу-вектору, так как там 1у2/ 1у1 д. Эту волну будем называть квазирадиалъной, для нее ах = г. При г г для тех же медленных волн йу2/д,у д , и собственный вектор этого семейства близок направлению оси У2, ортогональному радиусу-вектору. Это квазивращателъная волна, для нее ах = О10. Таким образом, происходит поворот интегральных кривых медленных волн на угол тг/2, причем этот процесс разворота концентрируется в узком слое д около критической окружности. [c.370] Интегральные кривые быстрых волн в каждой точке ортогональны собственным векторам описанного семейства медленных волн и, следовательно, при д С в области г волны являются квазивращательными ( 2 = а ), а при г - квазиради-альными ( 2 = г) и также меняют направление на угол тг/2 в узкой зоне около критической окружности. [c.370] Направление поворота линий того и другого семейства определяется функцией 1у2/ 1у1, заданной формулой (9.6). В выражении (9.6) числитель всегда отрицателен для семейства медленных волн и положителен для быстрых. Поэтому при рх2 О йнтегральные кривые медленных волн в упомянутой узкой зоне при увеличении г поворачивают направо, а при рх2 О - налево. Это сопровождается соответствующим изменением направления интегральных кривых быстрых волн. Интегральные кривые медленных волн всюду при г г. и быстрых волн при г г пересекают линии рх2 = О вдоль радиуса-вектора ( уг/ Ух = 0) для медленных волн при г г и быстрых волн при г интегральные линии пересекают линию р 2 = О перпендикулярно радиусу. [c.370] Для изучения поведения интегральных кривых вблизи особых точек было использовано разложение с точностью до линейных членов функций г,в) и Pi2(r, O), входящих в уравнение (9.6). Для собственных значений получилось уравнение третьей степени, которое может иметь одно или три действительные решения в зависимости от знака функции др 2/дв. [c.371] Поведение интегральных кривых медленных и быстрых волн вблизи особых точек А w. В изображено на рис. 9.2 для случая др 21дв О (а и 6) и для случая др 2/дв О (с и d). [c.371] Как уже было сказано ранее, для изучения деформации профиля волны со временем следует вычислить производные от характеристических скоростей, или, что одно и тоже, от собственных значений матрицы Ф/3-у , вдоль соответствующих им интегральных кривых. При дифференцировании функций а ир) будем пользоваться полярной системой координат г, в. Как было показано выше, на достаточном удалении от начала координат и критической окружности интегральные кривые мало отличаются от лучей и окружностей. [c.371] Так как согласно сделанному предположению / может обратиться в нуль только в точке г = г г , то только у медленных квазирадиальных волн на каждой интегральной кривой имеется точка экстремума а, лежащая на линии, близкой к окружности г = г внутри критической окружности. [c.372] Поэтому точки экстремума функции а при 1г-г д лежат на линии д г,в) = О как для быстрых волн (внутри критической окружности г = г ), так и для медленных волн (вне ее). [c.373] На рис. 9.2 линии экстремумов величин а нанесены штрихами, стрелками указаны направления роста величины а. [c.374] Вернуться к основной статье