ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные решения задач о вязкоупругих волнах, имеющие автомодельную асимптотику из "Нелинейные волны в упругих средах " Наилучщим, в некотором смысле, было бы отбрасывание как нереальных ударных волн, соответствующих при х О отрезку QE ударной адиабаты (см. 4.12). Ударная волна, для которой состояние за скачком представлено точкой отрезка QE, может распасться на систему волн (см. Главу 5). Комбинации волн, не содержащие таких разрывов, обеспечили бы существование и единственность рещения. Если бы оказались отброщенными другие части ударной адиабаты, то в какой-то области на плоскости 2 рещения (во всяком случае те, которые построены в Главе 5) перестали бы существовать. [c.321] Как будет показано ниже, как раз для ударных волн, соответствующих точкам отрезка QE, существование решения, представляющего стационарную структуру ударных волн, строго доказывается. Остальные ударные волны тоже обладают структурой. Этот вывод сделан на основании - расчетов на ЭВМ некоторых вариантов полей интегральных кривых, а также нестационарных задач (см. следующий параграф), в которых происходит в процессе эволюции волн установление структуры разрывов. Этим, вообще говоря, полностью не исключается возможность отсутствия стационарной структуры, описываемой уравнениями (8.4), у некоторых эволюционных разрывов. [c.321] Как было сказано выще, повидимому всего этого не происходит, если для описания структуры используются уравнения (8.4), или, что полностью эквивалентно, система уравнений (8.2), (8.3) (в следующем параграфе будет рассмотрена структура тех же ударных волн но при другом описании мелкомасштабных явлений, что приводит к другому множеству допустимых разрывов). [c.322] Здесь Ах и А2 - постоянные интегрирования, представляющие собой потоки импульса в направлениях х и Х2. Эти величины могут быть найдены, если, например, известно состояние далеко перед волной (при = -оо), где = 11а, = 0. [c.322] Уравнения (8.5) показывают, что интегральные кривые пересекают линии уровня N ui,U2) = onst в направлении увеличения N и ортогональны им. [c.323] Чтобы задача о структуре имела решение, у системы (8.5) должны сушествовать интегральные кривые, соединяюшие на плоскости щи2 точку А и, и2), представляюшую состояние перед разрывом ( = —оо), с точкой (-их, иг), изображающей состояние за скачком ( = +оо), в которой ( и / )оо = 0. Поэтому прежде всего найдем стационарные точки системы (8.5), где = 0. Одна из них соответствует состоянию перед скачком, остальные - возможным состояниям за скачком при заданном значении IV, так как они соответствуют тем же потокам импульса в направлении осей х и Х2- На линиях, где выполняется одно из равенств Л х( их, г) = О, Л 2( 11 2) = О (изоклинах), касательные к интегральным кривым параллельны осям щ и П2 соответственно. Исследование вида этих кривых показывает, что для фиксированного состояния перед разрывом в зависимости от величины скорости скачка Ш изоклина = О может состоять из одной или или двух ветвей, пересекающих ось под прямым углом и симметричных относительно нее. [c.324] На рис. 8.1 представлено одно из возможных положений изоклины = 0. В зависимости от величины овал и незамкнутая ветвь могут меняться местами. Овал может вообще отсутствовать. Пересечение линий N1 = О и N2 = О дает положение особых точек уравнений (8.5), которые являются стационарными точками функции М и1,П2). [c.324] Очевидно, в силу положительности производной dN/di, если в особой точке функция N ui, U2) имеет максимум или минимум, то для системы дифференциальных уравнений (8.5) эта особая точка является узлом. Если функция N ui,u2) имеет седловую стационарную точку, то эта точка будет также седлом и для системы дифференциальных уравнений (8.5). [c.326] Согласно результатам Главы 3, при х О на ударной адиабате в точках, лежащих ближе к началу координат, или (что то же самое) ближе к оси u, чем начальная точка, энтропия больще, чем в начальной точке. Поскольку любая из особых точек может быть принята за начальную, то энтропия и функция N ux,U2) больще в тех точках, которые ближе к началу координат или к оси и. Только в этом порядке эти особые точки могут соединяться интегральными кривыми. [c.326] В случае выполнения неравенств IV mm WJ,WE (линия ММ на рис. 8.2 6) имеются пять особых точек Л, В1, В2, Вз и В4. Их положение и типичная картина интегральных кривых на плоскости 1 2 изображены на рис. 8.3 с. Линии уровня функции N изображены на рис. 8.4. Поскольку точка А - узел с выходящими из него интегральными кривыми, очевидно, эта точка обязательно соединяется интегральной кривой с той из точек В2 или Вз (на рис. 8.4 это точка В3), в которой функция N принимает большее значение, более близкое к М А). Соединяется ли точка А с другими особыми точками, зависит от поведения сепаратрис этой седловой точки. Сепаратрисы, образованные интегральными кривыми, выходящими из этой точки, могут отделить оставшиеся точки от точки А, как это изображено на рис. 8.3 (1. Однако, во всех проведенных расчетах (их было около 10) картина интегральных кривых качественно совпадала с изображенной на рис. 8.3 с. [c.328] Таким образом, проведенные расчеты позволяют предположить, что все эволюционные разрывы имеют структуру, описываемую уравнениями (8.5), а структура априорно неэволюционных (по законам сохранения) разрывов с переходом седло - седло (на рис. 8.3 Ь это В2 —) Вз или Вз — В2) отсутствует. Это позволяет с доверием относиться к рещениям задач, рассмотренных в Главе 5. [c.329] Расчеты структуры ударных волн в упругих средах с х О с изотропной вязкостью, проведенные А.П.Чугайновой, привели к тем же результатам. Во всех рассчитанных случаях имеется структура всех эволюционных ударных волн и не появляется никаких рещений, соответствующих неэволюционным разрывам с дополнительным условием. [c.329] При малых значениях отношения i//z/i2 интегральные кривые пересекают линии уровня под малым углом (порядка v/vi2)-Если W С2, то начальной точкой является Bj, а интегральные кривые, выходящие из точки В, заполняют область, ограниченную линиями уровня точки В2- Поэтому всегда есть интегральная кривая, соединяющая точки В w. Вз w. представляющая быстрые ударные волны первого типа, (т.е. соответствующие отрезку ударной адиабаты, примыкающему к начальной точке). Быстрая ударная волна второго типа является результатом перехода Bi Вз, переходы В А и Bi В4 дают неэволюционные ударные волны. [c.331] Вследствие этого участок ударной адиабаты, соответствующий быстрым ударным волнам второго типа, который был априорно эволюционным, во всяком случае при малых Ш — с2, разбивается на короткие чередующиеся отрезки, для точек одних из которых существует структура ударной волны, а для точек других отрезков - не существует. [c.332] В результате некоторые отрезки ударной адиабаты, соответствующие медленным ударным волнам, распадаются на последовательность чередующихся коротких отрезочков, длина которых стремится к нулю при1//г/12 - О, для одних из которых структура ударной волны существует, а для других - не существует. [c.332] Таким образом, в случае, когда в уравнениях (8.5) слева появляется матрица диссипативных коэффициентов причем I ll = г 22 = I, 12 — -1 21, i /i i2 1, допустимые разрывы заполняют некоторые из априорно эволюционных отрезков ударной адиабаты не целиком, а выделяют на них нечто вроде штриховой линии с короткими штрихами и промежутками между ними. В то же время на априорно неэволюционных участках ударной адиабаты появляется множество отдельных точек, соответствующих допустимым разрывам. [c.333] Отметим, что ситуации с неединственностью автомодельных решений уже встречались в механике. При исследовании автомодельных задач в магнитной гидродинамике при наличии фронтов рекомбинации были обнаружены случаи неединственности решений и даже отсутствия автомодельных решений (Бармин и Куликовский [1975]). Результаты расчетов неавтомодельных задач магнитной гидродинамики с автомодельной асимптотикой содержатся в работе Бармина и Успенского [1986]. [c.334] В большинстве задач механики именно так все и происходит. То же самое имеет место и в описываемых ниже численных решениях, с той, однако, особенностью, что в случае неединственности решение поставленной выше задачи может стремиться к той или другой автомодельной асимптотике в зависимости от вида функций u t/t )/u и u2 t/t )/u2. Такой выбор автомодельной асимптотики и будет рассматриваться ниже. [c.335] как и в задаче о структуре разрывов, рассматривать случай X О, отсылая к упомянутым работам А.П.Чугайновой, где рассмотрены задачи также для н, 0. [c.335] Вернуться к основной статье