ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эволюция при малой анизотропии волн, близких к вращательным. Катастрофическая перестройка из "Нелинейные волны в упругих средах " Ниже рассматривается рещение, в котором влияние анизотропии, даже если она мала, очень ярко проявляется в поведении волн, близких к вращательным (Куликовский [1989]). При отсутствии анизотропии (при 5 = 0, например, в магнитной гидродинамике) обсуждаемый ниже эффект отсутствует. [c.310] Рассмотрим для определенности случай х 0. Еще предположим, что в рассматриваемых волнах отнощение 5/хг достаточно мало (г = и1 + и ). Это неравенство характеризует соотношение между параметрами анизотропии и нелинейности. Малость д1 сг необходима для существования отдельного эволюционного отрезка ударной адиабаты (для ударных волн второго типа), который нужен для рассматриваемого явления. При X О этот отрезок соответствует быстрым ударным волнам. [c.310] Рассмотрим момент времени, когда уже сформировалась быстрая ударная волна А —) С, за ней следует быстрая волна Римана D и затем медленная волна Римана DB (все волны движутся в одну сторону). [c.312] Будем предполагать, что в приходящей сзади к ударной волне быстрой волне Римана (которая управляет всем процессом) угол в меняется монотонно и приблизительно с постоянной производной дв/дх, так что 0 меняется на конечную величину на расстояниях порядка Ь. При дальнейшем увеличении времени точка С смещается по ударной гЬдиабате в сторону точки Е. Скорость этого движения пропорциональна разности — W, поскольку эта разность определяет скорость прихода к ударной волне возмущений из волны Римана. Как уже отмечалось, сначала движение точки С по ударной адиабате происходит медленно, поскольку разность - W мала. Затем по мере приближения к точке Е она увеличивается и в точке Е оказывается равной J — 4. Соответственно ускоряется движение точки С к Е. [c.312] в течение сравнительно короткого времени медленный импульс отстает от быстрых волн. Этот импульс имеет конечную амплитуду при малых д/яг максимальное изменение второго инварианта /2, приблизительно равного г, достигается в передней точке непосредственно за ударной волной и определяется положением точки Е. В момент образования ударной волны изменение г в ней составляет приблизительно половину радиуса Н начальной точки Н — Ге Д/2. Форма импульса определяется законом движения точки С по ударной адиабате. Как уже было сказано, если скорость изменения в в приходящей быстрой волне приблизительно постоянна, то происходит ускорение со временем движения точки С и соответствующее ускорение изменения величины г. Поэтому можно считать, что форма медленной волны будет иметь вид, качественно изображенный на рис. 7.3. [c.313] и медленную волну малой интенсивности Т В, а которую превратится ранее излученная медленная волна из-за нелинейного затухания (поглощения волны Римана ударной волной). [c.314] При 5 = О и, в частности, в магнитной гидродинамике, никакой эволюции вращательных волн не происходит и, соответственно, не образуется плоскополяризованных волн. [c.315] Если рассмотреть эволюцию одной и той же быстрой волны для различных значений д, то нетрудно понять, что щирина излучаемой медленной волны будет стремиться к н лю при 0. Соответственно будет стремиться к нулю и время, необходимое для нелинейного затухания такого импульса. Однако, если вместе с О в исходной волне Римана устремить некоторым подходящим образом характерный линейный размер Ь к бесконечности, то щирину изучаемой волны можно иметь конечной при сколь угодно малых д, не равных нулю. [c.315] Необходимо отметить, что при рассмотрении взаимодействия ударной волны с малыми возмущениями все время предполагалось, что такое взаимодействие приводит к малым же возмущениям в рещении, пока ударная волна не достигнет границы отрезка эволюционности Е, после чего происходит нелинейный распад ударной волны. Вообще говоря, распад ударной волны мог бы произойти не в точке Е, а в другой точке, поскольку существует автомодельное рещение для распада волн, соответствующих точкам отрезка дЕ ударной адиабаты. [c.315] Проведенное в следующей главе исследование волн в вязко-упругих средах и численные рещения рассматриваемой задачи для вязко-упругой среды подтверждают справедливость сделанной гипотезы и результаты этого параграфа. [c.315] 2 рассмотрены квазипоперечные волны, распространяющиеся в положительном (для определенности) направлении оси х (волны, распространяющиеся в противоположную сторону, считаются отсутствующими). Это позволяет, как и в 7.1, оставить в качестве неизвестных только переменные, характеризующие эти волны. Система уравнений для квазипоперечных волн, распространяющихся в сторону а О, состоит из двух уравнений (7.6). Эти уравнения, содержащие три постоянных коэффициента, преобразованием Галлилея и изменением масштабов могут быть приведены к одной из двух стандартных форм, соответствующих X О или X 0. Проверено ( 7.3), что упрощенные (приближенные) уравнения (7.6) с принятой при рассмотрении квазипоперечных волн малой амплитуды точностью дают описание волн Римана и ударных волн, не отличающееся от описания, полученного ранее (в Главах 3 и 4) при отыскании приближенного решения точных уравнений. [c.316] Введены инварианты Римана систем упрощенных уравнений и, с помощью смены независимых и зависимых переменных, уравнения приводятся к системе линейных уравнений. Обсуждена возможность качественного исследования неавтомодельных решений ( 7.4). [c.316] Проведено качественное исследование поведения быстрых волн Римана при х О в случае, когда эффекты нелинейности существенно превышают эффекты анизотропии, хг 5 ( 7.5). Показано, что, если изменение щ и П2 в быстрой волне представляется на плоскости отрезком кривой, описывающим вокруг начала координат угол больший, чем тг, то при эволюции эта волна проходит катастрофическую фазу (перестройку), сопровождающуюся излучением короткой, но интенсивной медленной волны и распадом образовавшейся ранее быстрой ударной волны на систему волн. Эти результаты затем (см. Главу 8) подтверждены численным счетом. При уменьшении д время перестройки и длина излучаемой волны уменьшаются, а при д = О описанное явление не имеет места. [c.316] Вернуться к основной статье