ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распад произвольного начального разрыва Соударение ударных волн из "Нелинейные волны в упругих средах " Рассмотрим еще одну классическую автомодельную задачу - задачу о распаде произвольного начального разрыва - в изотропной и анизотропной упругой среде. Два упругих тела, обладающих каждое своими упругими свойствами и ра зными параметрами напряженного и деформированного состояний, в начальный момент времени приведены в соприкосновение по плоскости X = Q. Надо найти возмущения, распространяющиеся от границы контакта в обе среды (Куликовский, Свешникова [1988 6]). Исследование, как и прежде, будем вести в лагранжевых переменных, так что плоскость х = х = О все время остается границей контакта. Одна среда, будем называть ее А, занимает полупространство з О, другая среда В - полупространство з О (рис. 5.22). [c.273] В рассматриваемой задаче о распаде произвольного разрыва, в силу ее автомодельности, скорости и напряжения в точках контактного разрыва не меняются со временем при i 0. Если бы были известны, например, напряжения (или деформации) на контактном разрыве, то это позволило бы свести задачу нахождения волн в каждой из сред к задаче о волнах в полупространстве, рассмотренной в предыдущих параграфах. [c.274] Можно заметить, что в силу предполагаемой малости напряжений и деформаций упомянутое нулевое приближение довольно хорошо (с относительной погрешностью не превышающей по.по-рядку величины х = П1ах ,5 ) описывает связь величин в рассматриваемых волнах. Поэтому напряжения на контакте, определяемые по нулевому приближению, имеют такую же относительную погрешность. При качественных рассмотрениях такую точность можно считать приемлемой. Целью качественного изучения является указание возможных комбинаций волн, дающих решение задачи, и нахождение в пространстве параметров, определяющих постановку задачи, областей, соответствующих тем или другим комбинациям волн. Если при определении напряжений на контакте допускается малая ошибка, то это приведет к смещению границ между областями, соответствующими разным комбинациям волн, также на малую величину. Поскольку границы упомянутых областей при качественном изучении определяются тоже качественно, то такая поправка несущественна. [c.275] Здесь учтено, что волны в средах А и В движутся от границы в противоположных направлениях. [c.276] Оси щ и П2 для обеих сред совпадают и последние равенства справедливы и для компонент входящих в них векторов. [c.277] Теперь для каждого из полупространств справа и слева от плоскости а = О имеем автомодельную задачу, рассмотренную в предыдущих параграфах при = 0, з 0иа 0 известна начальная поперечная деформация каждой из сред, которая характеризуется величинами (а=1,2) соответственно. В момент i = О на границе з = О деформации приобретают значения и и , определяемые из соотношения (5.9), и далее не меняются. Для любого заданного таким образом состояния и , согласно результатам предшествующих параграфов, находится система нелинейных волн, дающая решение. [c.277] В качестве примера рассмотрим решение задачи, когда среда с двух сторон от границы контакта одна и та же, и анизотропия (в данном случае деформационная) в ней отсутствует д = д ). Тогда решение задачи в каждой из сред состоит из вращательного разрыва и плоскополяризованной волны (ударной или непрерывной). При X О впереди идет вращательная волна, а при X О - наоборот. [c.277] Две концентрические окружности, проходящие через начальные точки А[и ) и В и ), и лучи из начала координат, проведенные через эти точки (рис. 5.23) делят плоскость щич на три области. Попадание состояния М и в ту или иную область ведет к различным типам решения задачи о распаде разрыва. [c.278] Если точка М и находится внутри малой окружности, то в обе стороны за вращательными разрывами идут ударные волны, а если вне большой окружности, то волны Римана. [c.279] Влияние анизотропии на решение задачи о распаде разрыва продемонстрировано на рис. 5.25 для случая, когда анизотропия одна и та же по обе стороны от контакта, и на рис. 5.26 Ь для случая, когда анизотропия различна, вследствие чего в средах А и В оси координат щ, 2 имеют различную ориентацию, что показано на рис. 5.26 а. Начальные состояния в средах А и В а состояние М на границе взяты такими же как на рис. 5.24 6. Из решения видно, что наличие анизотропии изменяет конструкцию решения, по крайней мере, может увеличить количество волн в последовательности. [c.279] Исследованы одномерные автомодельные задачи с решениями, зависящими от х/1. Решения должны состоять из центрированных волн Римана, ударных волн и областей постоянных значений параметров. При построении решений подобных задач в этой главе используются только априорно эволюционные (Глава 4) ударные волны (на них энтропия не убывает). Простейшая задача возникает при внезапном изменении граничных условий на границе упругого полупространства с однородными начальными деформациями щ = /,. [c.281] Характерной особенностью представленных решений, как для X О, так и для X О, является суш,ествование некоторого множества параметров С/1, С/2, О, для которого на плоскости имеются области граничных значений деформации, для которых суш,ествуют два различных автомодельных решения и на этом этапе нет оснований предпочесть какое-нибудь одно из них. [c.282] Интересно отметить, что в одном из двух решений в случае неединственности содержится ударная волна, которая сама по себе представляет решение некоторой автомодельной задачи, причем суш,ествует другое решение той же задачи в виде системы автомодельных волн. При х О эта ударная волна соответствует одной из точек отрезка QE на рис. 5.6 (будем говорить, что это ударная волна типа QE). Дальнейшее обсуждение вопроса о неединственности будет продолжено в Главе 8. [c.282] 5 рассматривается задачао распаде произвольного разрыва, когда автомодельные системы волн распространяются в упругой среде в обе стороны от плоскости а = 0. Задача приближенно, пользуясь малостью анизотропии и нелинейных эффектов, сводится к двум задачам о волнах в полупространстве. К задачам о распаде произвольного разрыва относятся также важные задачи о взаимодействии ударных волн. Все эти задачи могут иметь неединственные решения. [c.282] Вернуться к основной статье