ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о внезапном изменении нагрузки на границе полупространства (задача о поршне) из "Нелинейные волны в упругих средах " Упругая среда занимает полупространство жз = а О и находится в однородном, вообще говоря, напряженном состоянии Tij = onst, Ui = Ui = onst, (i, j=l,2,3) (рис.5.1). В момент времени i = О на границе среды а = О изменяется и далее остается постоянным приложенное к ней напряжение. При этом имеются три почти эквивалентных постановки задачи, когда при i О, а = О задаются новые напряжения на границе или скорости точек границы v, или компоненты тензора градиентов перемещения Ui = и (те компоненты, которые в одномерных задачах могут изменяться). Мы примем последнюю формулировку задачи как наиболее удобную при наличии результатов Главы 3 и Главы 4. [c.241] Поставленная задача автомодельна, рещение зависит от x/t. Возмущения от границы в область а О распространяются в виде плоских волн деформации. Решение конструируется из последовательности автомодельных (центрированных) волн Римана и ударных волн, разделенных промежутками с постоянными значениями параметров среды. Порядок следования волн определен величинами скоростей впереди идет самая быстрая, далее в порядке убывания скоростей. [c.241] Если известно состояние щ между квазипродольной и квазипоперечными волнами, то задача об определении этих волн разделяется. Это состояние нетрудно найти, если для квазипродольной волны воспользоваться соотношениями (3.12) или (4.7), выражающими изменение щ и П2 в квазипродольной волне и соотношениями (3.15) или (4.12) для изменений щ в квазипоперечных волнах. Эти все соотношения не зависят от того ударные это волны или волны Римана, а соотнощения для квазипоперечных волн одни и те же для быстрых и медленных волн, что упрощает вычисления. [c.242] Квазипродольная волна полностью характеризуется начальным состоянием Ui, г=1,2,3 и изменением из в ней. Эта волна всегда одна (в зависимости от знака Пз - из это может быть ударная волна или волна Римана) и ее исследование уже проведено в Главах 3 и 4. Отличие величин и за квазипродольной волной от их начальных значений Ua составляет величину порядка В дальнейшем состояние перед системой квазипоперечных волн будем считать известным и сохраним для него обозначение Ua, а=1,2. [c.243] Таким образом, получаем задачу для квазипоперечных волн, которая формулируется следующим образом найти последовательность квазипоперечных волн, в которой величины и изменяются от U, U2 впереди до u, ,u2 позади. Построение решения сводится к указанию на фазовой плоскости ui, U2 пути, соединяющего начальное состояние A Ua) с конечным В(и ), с использованием при этом интегральных кривых неопрокидывающихся волн Римана и эволюционных участков ударных адиабат при соблюдении правила скоростей. [c.243] Точку А, представляющую начальное состояние, достаточно всегда помещать в первой четверти плоскости uiu2. В силу симметрии постановки относительно осей ui и U2, решение задачи для начальных состояний в других четвертях находится зеркальным отражением относительно соответствующей оси. При этом в качестве конечного состояния и следует испытать любую точку этой плоскости. [c.243] При построении решения следует обратить внимание на то, что центрированные волны Римана не могут изменить знак деформации сдвига. Важное значение при конструировании последовательностей волн имеют ударные волны Жуге ( 1.6, 4.5), для которых скорости движения фронта W совпадают с одной из характеристических скоростей за или перед фронтом разрыва, т.е. в условиях эволюционности выполняются знаки равенства. [c.243] Каждая следующая волна идет по новому начальному состоянию, созданному впереди идущими волнами. Это состояние изображается своей начальной точкой, которая может находиться, вообще говоря, в любом месте плоскости щи2. При построении ударных адиабат и интегральных кривых для этих новых состояний будем пользоваться свойством симметрии этих линий относительно осей координат при симметричных начальных точках. Скачки Жуге из новых начальных состояний будем отмечать теми же верхними буквами, какие они имели при начальной точке А, например, 82 ударная волна того же типа, что из точки А в точку К. [c.244] Вернуться к основной статье