ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Положение участков эволюционности на ударной адиабате из "Нелинейные волны в упругих средах " Найдем положение участков эволюционности на ударной адиабате на плоскости и П2. В силу свойств симметрии положения ударной адиабаты относительно осей и, и2 и выражений для скорости разрыва и ТУ и характеристических скоростей сх и С2 относительно переменных их и иг достаточно брать начальную точку А(С/х,С/2) всегда в первой четверти плоскости их иг (т.е. [c.204] 1/2 0). Для начальных состояний в других областях картина эволюционных участков получается зеркальным отражением относительно соответствующей координатной оси. [c.205] Сначала укажем положение точек Е, 3, Н - экстремумов скорости скачка и энтропии на ударной адиабате на плоскости их иг (рис.4.1). Оно не зависит от знака х. Поэтому для определенности примем X О (при X О точки экстремума сохраняют свое место на ударной адиабате, но максимумы меняются местами с минимумами). [c.205] Очевидно, точка Е (максимум и 5) на рис. 4.1 должна лежать на нижней части петли на отрезке от А до М, точка Н (минимум) - на внещней стороне петли на отрезке от А до М, третья точка J (максимум) - на отрезке хвоста от А до М. Покажем, что ни одна из них не лежит в том же квадранте, что и начальная точка (т.е. в первом). Для этого достаточно определить знак изменения энтропии 3 вдоль дуги ударной адиабаты в точках ее пересечения с осями щ и иг. [c.205] Аналогично, при вычислении изменения энтропии вдоль ударной адиабаты в точках пересечения ее петли с осью П2 используем в качестве параметра вдоль дуги величину щ. [c.206] В точках пересечения верхней ветви петли с осью П2, где П2 та.х у/0, Е (см. 4.3), имеем д8/дщ О, д8/дп2 О и ди2/дщ О, так что в этой точке 8/в,щ 0. Таким образом, при движении вдоль кривой от Л к Я энтропия продолжает убывать при переходе во вторую четверть и ее минимальное значение (точка Я) находится во второй четверти. При х О функция 8 имеет на петле ударной адиабаты только один минимум и он лежит во второй четверти. [c.206] В точках F Ti К ка. петле ударной адиабаты выполняется условие W = сj. Покажем, что обе эти точки всегда лежат во втором квадранте. Для этого рассмотрим ударную адиабату, проходящую через какую-нибудь из этих точек как через начальную. В силу симметрии соотнощений на разрыве (4.15) относительно состояний за разрывом и перед ним, эта ударная адиабата пройдет через точку А. При этом в точке А будет выполнено условие Жуге W = С2(Л) = f. Тогда в этой точке должен быть экстремум энтропии, который может быть только минимумом. Действительно, так как точки F и К лежат внутри 5-окружности (условие неубывания энтропии при х 0), то 5(F) 5(Л), S K) 5(у4). Однако, выше было показано, что точка, где достигается минимум энтропии, всегда лежит в квадранте соседнем с начальной точкой. Следовательно обе точки F VL К лежат во второй четверти. Все упомянутые выше точки Жуге отмечены на рис. 4.6 а и Ь. [c.207] Если начальная точка А(С/1, С/г) лежит в области, где выполнено неравенство Д О, то на петле ударной адиабаты имеется лишь один эволюционный участок, дающий медленные ударные волны, оканчивающийся точкой Е во втором квадранте. Эволюционные участки для сред с х О в этом случае изображены жирными линиями на рис. 4.6 6. [c.208] Построим ударную адиабату, у которой начальной будет точка Р. Точка А принадлежит этой кривой и служит на ней точкой Жуге, для которой скорость разрыва = 4- Значит точка А в этой ситуации является аналогом точки Е, где достигается минимум У (рис. 4.5 6). Такая точка, как показано выше, не может лежать в одной четверти с начальной. Значит точки А и Р ке могут быть в одной четверти и, следовательно, точка Р обязательно лежит во второй четверти. [c.209] Точки Ь ж В лежат на хвосте ударной адиабаты там, где она выходит за пределы энтропийной окружности, т.е. в третьей или четвертой четверти. Выясним, в какой именно. На ударной адиабате, у которой состояние Ь принято за начальное, в точке А имеем точку Жуге, для которой = 4 (аналог точки J). Такая точка должна находиться в квадранте соседнем с начальным. Значит, точка Ь лежит в четвертой четверти. [c.209] Теперь уточним положение точки В. Для этого построим ударную адиабату с началом в точке В. На ней А есть точка Жуге, в которой Увл = 4- Эта точка аналог Е и должна лежать на петле ударной адиабаты. Если бы точка В находилась в четвертой четверти, то точка А должна была бы попасть либо во вторую, либо в третью четверть, что не так. Поэтому точка В не может оказаться в четвертой четверти и, следовательно, ее место в третьей четверти. [c.209] для сред с х О одним из участков эволюционности будет весь верхний хвост ударной адиабаты АА , начиная от точки А. Он. соответствует быстрым ударным волнам. На рис. 4.6 этот участок и все прочие эволюционные отрезки для сред с X О изображены жирными штриховыми линиями. Эволюционный участок ЬВ находится на другой ветви хвоста в нижней полуплоскости и представляет состояния за медленными ударными волнами второго типа. [c.209] Вернуться к основной статье