ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задание упругого потенциала для слабонелинейной среды из "Нелинейные волны в упругих средах " Рассмотрим задание упругого потенциала в области небольших деформаций, где будем пользоваться разложением всех функций в ряды по Eij с оставлением конечного числа членов, причем будет считаться, что порядок величины не превышает е. [c.134] Линейную изотропную среду представляют первые два слагаемые. В формуле (2.25) мы ограничились только первым (линейным) членом с изменением энтропии 5 — So. Это можно сделать при изучении волн, распространяющихся по однородному фону, поскольку изменение энтропии в слабых ударных волнах имеет порядок не менее третьего по величине скачка (см. 1.7 и 1.11), а при непрерывных движениях упругой среды энтропия вообще не меняется. Поэтому учет членов с более высокими степенями S — So или с произведением S — So на инварианты тензора деформаций не повлияет на поведение и, и Vi в упомянутых волнах в рассматриваемом диапазоне точности. Тем не менее иногда употребляют модели, в которых Ф содержит еще члены следующего порядка малости, а именно Ii S - Sq) и /2(5 - So) (Bazer and Eri son [1974]). Эти слагаемые необходимы при вычислении зависимости температуры от деформации по формуле роТ = дФ/oS. Поскольку температура нас в дальнейшем интересовать не будет, то эти члены для краткости опустим. [c.135] Заметим, что разложение (2.25) среди прочих содержит и те компоненты ггц, 622, 12, которые не претерпевают изменения при прохождении плоской волны. [c.136] В следующей главе будет показано, что волны малой интенсивности в слабоанизотропной среде можно разделить на квазипродольные (в которых изменение поперечных компонент деформации Ul и U2 на порядок меньше, чем продольной из) и квазипоперечные (в которых изменение продольной компоненты на порядок меньше, чем поперечных). Квазипродольные волны обнаруживают нелинейные свойства при учете кубичных по из членов в разложении Ф. Для квазипоперечных волн необходимы и члены четвертой степени, но учитывая, что изменение продольной компоненты в них на порядок меньше, в разложении Ф для обоих типов волн члены, содержащие из, достаточно иметь в суммарной (по всем щ) степени не выше третьей. [c.137] Выделим отдельно в разложении Ф члены, соответствующие волновой изотропии, как было предложено в 2.3. [c.137] В выражениях для / и е( не выписаны в явном виде довольно сложные слагаемые порядка О(г ), а учтены только главные по величине первые члены. Отсутствие в разложении (2.26) слагаемого вида 1 2 обусловлено указанным выше специальным выбором осей XI, Х2 в плоскости фронта волны. Слагаемые 1 3 и и2Пз отсутствуют в пределах принятой точности. [c.138] Если не делать дополнительных предположений относительно величины разности 22 — 11, то член Фх = рд следует считать выражением не менее чем третьего порядка малости. [c.138] Отметим, что при упомянутом преобразовании сдвига возникнут линейные по щ слагаемые, которые соответствуют постоянным напряжениям, не влияющим на динамику среды. В дальнейшем линейные слагаемые будут опускаться. В результате упругий потенциал среды с произвольной естественной анизотропией при сделанных предположениях совпадает с его видом для случая деформационной анизотропии (2.26) с измененными значениями коэффициентов. [c.139] Если не предполагать, что Л, и Вк одного порядка, то кубические члены в формуле (2.29) надо учитывать, если наибольший коэффициент из Л много больше всех Вк. [c.139] Для конкретных сред их анизотропия может задаваться включением в число определяющих параметров среды некоторого набора тензоров (Лохин и Седов [1963]). Тогда упругий потенциал среды может зависеть только от инвариантов, составленных из тензора деформаций и тензоров, задающих анизотропию. [c.139] Среди анизотропных сред наибольший интерес представляют часто используемые в приложениях среды, обладающие определенными свойствами симметрии. Рассмотрим трансверсально изотропную и ортотропную. В трансверсально изотропной среде имеется некоторое выделенное направление, а в плоскостях. [c.139] Ортотропные среды обладают тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, что может быть задано симметричным тензором второго ранга Модель трансверсально изотропной среды при математическом описании является частным случаем ортотропной среды. [c.140] Для трансверсально изотропного материала независимых инвариантов только пять, так как А з пропорционален Ку. [c.140] Таким образом, при описании волн слабой интенсивности в материалах с малой естественной анизотропией вид представления упругого потенциала Ф разложением по щ в общем случае такой же, как для сред с деформационной анизотропией (2.26). [c.141] в случае малой нелинейности и малой анизотропии поведение плоских волн и разрывов описывается уравнениями (2.18) и (2.20) (или (2.19)) с упругим потенциалом Ф(и,, S), представляемым равенством (2.26). Постоянные коэффициенты /, д, d, а, Ь, h определяются свойствами упругой среды (в случае нелинейного изотропного материала эти коэффициенты зависят также от начальной деформации (2.27)). [c.141] Вернуться к основной статье