ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Еще о структуре и о числе дополнительных соотношений из "Нелинейные волны в упругих средах " Рассмотрим с общей точки зрения вопрос о разрывах, для описания которых требуется выполнение дополнительных грат-ничных условий (Куликовский [1968]). Наряду с разрывами, по обе стороны от которых действует одна и та же система гиперболических уравнений, будут изучаться также разрывы, по разные стороны от которых действуют разные уравнения. Такие случаи встречаются, например, при изучении фронтов фазовых переходов. [c.96] Идея доказательства заключается в исследовании для обыкновенных уравнений, описывающих структуру, множеств решений, стремящихся к постоянным значениям переменных при - оо и —оо ( = —X -Н Wt, как и ранее). Каждое из этих множеств решений зависит не только от скорости разрыва и от значений величин при = оо или = —оо, но также и от некоторого количества произвольных постоянных f или С, , которые характеризуют то, как происходит изменение величин внутри структуры. Число этих постоянных оценивается в пункте в). Для получения решения, описывающего структуру и пригодного для всех значений , решения, идущие из = оо и из = -оо, должны быть сопряжены при конечном значении т.е. внутри структурыю Простейший вариант сопряжения - это условия непрерывной склейки решений (возможны и другие варианты, которые обсуждаются в пункте б)). [c.97] Если из соотношений склейки исключить величины f и С , то получившиеся соотношения будут связывать величины при = -оо, при = ос и Ж и будут представлять, тем самым, условия на разрыве. Подсчет числа полученных таким образом соотношений, проведенный в пункте г), приводит в случае общего положения к сформулированному выше результату. В пункте г) подробно обсуждается полученный результат и возможные случаи, когда он может оказаться несправедливьлм (например, когда число основных соотношений на разрыве больше, чем требуется для эволюционности разрыва). В пункте д) обсуждается возможность существования внутри структуры внутренних разрывов (что ранее исключалось сделанным в пункте а) предположением). [c.97] Прежде всего, рассмотрим вопрос об уравнениях, которые должны использоваться для описания структуры разрывов. [c.98] Существуют случаи, когда структура разрыва может быть описана той же гиперболической системой уравнений, решения которой терпят разрыв. Так обстоит дело для разрывов решений линейных уравнений или для разрывов, соответствующих волнам Римана, не изменяющим при движении своей формы. Однако, в общем случае для того, чтобы можно было построить рещение задачи о структуре разрыва, система уравнений, описывающая структуру, должна отличаться от исходной гиперболической системы уравнений. [c.98] Уравнения для описания структуры разрыва, должны отражать физику явлений, происходящих в разрыве. Уравнения для структуры могут быть различными для одной и той же исходной гиперболической системы уравнений, разрывы решений которой изучаются (см. 1.5). Однако, уравнения усложненной модели, описывающие структуру, должны быть определенным образом согласованы с гиперболическими уравнениями крупного масштаба. [c.98] Для этого будем предполагать, что, если характерные времена Г и длины Ь велики, то уравнения, описывающие структуру, переходят в гиперболическую систему уравнений или соответственно в гиперболические системы уравнений, если эти системы различны по разные стороны от разрыва. Будет допускаться, что внутри структуры разрыва может существовать поверхность (для простоты считаем, что таких поверхностей не более одной), при переходе через которую могут терпеть разрыв или обращаться в нуль некоторые коэффициенты уравнений, описывающих структуру. В частности именно это может приводить к упомянутому выше различию гиперболических систем уравнений, действующих по разные стороны от разрыва. [c.98] При изучении фазовых переходов часто внутри структуры имеется упомянутая выше поверхность, которую будем называть критической, по разные стороны от которой число независимых уравнений (1.62) различно, т.е. по разные стороны число п принимает разные значения щ и п - Соответственно, переменные Игп вообще говоря, различны по разные стороны от критической поверхности т=1,2.П1, j=l,2.n2. [c.99] Электропроводность т зависит от температуры, причем т = О при температуре ниже критической Т Т, (Т также может зависеть от плотности и других величин). Если внутри структуры происходит переход Т через Т, то поверхность Т = Т является критической поверхностью и с одной стороны от нее т = 0. [c.99] В непроводящей области величины Е, V и В независимые неизвестные величины, а в проводящей области при рассмотрении крупномасштабных явлений они, очевидно, связаны соотношением = х г /с. Точно также при переходе упругого твердого тела в жидкое состояние (или обратно) исчезает (или возникает) упругий коэффициент отвечающий за упругость при сдвиге. [c.100] Таким образом, система диссипативна, если любое решение линеаризованных относительно = onst уравнений (1.61), синусоидально зависящее от х, экспоненциально убывает со временем при любой конечной длине волны синусоиды. [c.101] Очевидно, что, если система (1.61) диссипативна, то диссипативна и система (1.66). Действительно, рещения вида для линеаризованной системы (1.61) и рещения вида для линеаризованной системы (1.66) представляют собой одни и те же рещения, записанные в разных системах координат. Убывание со временем одних решений означает убывание со временем и других. Из совпадения показателей экспонент следует U) = ш к) - kW при к = к, где функция ш к) удовлетворяет дисперсионному уравнению (1.64). [c.102] Рассмотрим вопрос о существовании решения задачи о стационарной структуре разрыва, т.е. о существовании решения системы (1.61) в виде бегущей волны, принимающего постоянные (различные) значения при х оо, t = onst. [c.102] Вопрос, подлежащий изучению, заключается в том, сколько связей между переменными и и и+ накладывает требование существования рещения вида (1.68). При изучении структуры разрывов будет предполагаться, что скорость разрыва не совпадает ни с одной из характеристических скоростей упрощенных гиперболических систем уравнений (1.63) при Пт = и , т=1,2.П1 и при Uj = =1,2.П2. Это позволяет четко определить, сколько граничных условий требуется для эволюционности разрыва. [c.103] Помимо этого в дальнейщем будут всегда рассматриваться случаи общего положения. [c.103] Кроме того, принималось выполнение - - 1 условия склейки решений, что, однако, настолько естественно, что это не следует считать предположением. [c.104] Линеаризуем систему (1.66) в окрестности постоянных значений, принимаемых решением при —) оо и получим некоторые следствия из предположений (1.65) и (1.67) (Любарский [1961]). Из них следует, что если 1ша О, то у линеаризованной системы (1.66) не существует решений вида х -ш г) действительными к. Обозначим через р число (с учетом возможной кратности) корней к дисперсионного уравнения, соответствующего линеаризованной системе (1.66), лежащих в верхней полуплоскости комплексной плоскости к при 1ша О, и через д - число корней дисперсионного уравнения, лежащих в нижней полуплоскости к при 1ша 0. [c.104] Из условия (1.67) следует, что р + д = N. Если непрерывным образом менять параметры характеризующие состояние, около которого производится линеаризация, а также Ж, тор ид меняться не будут, если 1т а остается в верхней полуплоскости ш. [c.104] Действительно, никакой из корней к дисперсионного уравнения не может при таком изменении параметров в силу условия (1.65) пересечь действительную ось к, а в силу требования (1.67) не может поменять знак Ira/ , пройдя через бесконечность. [c.105] Будем предполагать, что множество всех возможных состояний и , m=l,2.N (соответствующих = -оо и зависящих от и , где r—l,2.ni) и множество всех возможных состояний vf, j—l,2.N (соответствующих = оо и зависящих от и+, где 6—1,2,..П2) пересекаются. Так например, в упоминавщем-ся случае, когда поверхность разрыва разделяет проводящую и непроводящую среды, в проводящей среде Е, В и v связаны при 1 1 = оо соотношением Е = В х (v/ ), а в непроводящей среде, где Е, В VIV независимы, имеется, однако, подмножество состояний, где Е = В X v/ ). Итак, если множество состояний пересекается с множеством состояний то р и постоянны в объединении этих множеств, что и принимается в дальнейшем. Поскольку при rnui О в диссипативной системе все возмущения затухают в направлении своего распространения, то р и q равны соответственно числу различных малых (линейных) возмущений, описываемых полной системой уравнений, которые распространяются направо и налево. [c.105] Вернуться к основной статье