ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые возмущения в среде с диссипацией из "Нелинейные волны в упругих средах " Условия эволюционности и неубывания энтропии, рассмотренные выще, имели целью отбросить некоторые из разрывов, удовлетворяющих законам сохранения, как нереальные. [c.77] В этом параграфе обсуждается подход к изучению разрывов, связанный с представлением о них как об узких областях быстрого, но непрерывного изменения величин. Даже в случаях, когда шириной этих узких зон можно пренебречь, этот подход оказывается полезным, так как дает дополнительное правило отбора допустимых разрывов. [c.78] Существует другой эквивалентный предельный переход, приводящий к гиперболическим системам, при котором устремляют к нулю коэффициенты при некоторых членах в полной системе уравнений, например, коэффициенты вязкости и теплопроводности в уравнениях Навье-Стокса. [c.79] Таким образом, при изучении разрывов как пределов непрерывных решений в рассмотрение вводится новая, более сложная модель среды, использование которой приводит к тем или иным выводам, касающимся разрывов. При этом важно, чтобы эта модель соответствовала физике процессов, происходящих в среде. Исходной системой уравнений следует считать эту полную, более детализированную модель, а гиперболическая система законов сохранения возникает как ее предельный случай. Важно при этом отметить, что одна и та же гиперболическая система уравнений может соответствовать различным исходным полным уравнениям и поэтому различным множествам осуществимых разрывов. [c.79] Усложненные, полные, уравнения обычно отличаются от упрощенной предельной гиперболической системы наличием дополнительных членов в тех же уравнениях (в более сложных случаях возникает необходимость введения новых переменных и новых уравнений). Эти дополнительные члены, обеспечивающие непрерывность решений, обычно представляют диссипативные процессы, связанные с производством энтропии, а также процессы, связанные с дисперсией волн. Надо отметить, что, если диссипация отсутствует, а имеется только дисперсия, то опрокидывание волн Римана может не приводить к чему-либо, напоминающему образование разрыва, как это выявлено при изучении решений уравнения Кортевега-де Вриза (Карпман [1973], Уизем [1977]). При обращении к более полным моделям по сравнению с гиперболическими системами законов сохранения мы будем предполагать всегда наличие диссипативных механизмов. [c.79] Диссипативные коэффициенты /J,ij и l/ij могут быть функциями Пк или дк соответственно. Матрица коэффициентов ij легко может быть пересчитана из матрицы уи, с помощью преобразования переменных. Очевидно, при Ь —) оо или Uij — О система (1.46) в пределе переходит в гиперболическую систему (1.40) (а система (1.45) соответственно в (1.2)). [c.80] Если матрица vij не зависит от аксиальных векторов (например, от магнитного поля), то она симметрична v ij = vji (де-Гроот и Мазур [1964]). [c.81] Отметим, что термодинамика необратимых процессов хорошо описывает процессы, близкие к равновесным, а для сильно неравновесных процессов применяются также более сложные модели. [c.81] Было использовано интегрирование по частям и обращение в нуль внеинтегральных членов, которое имеет место в обоих рассматриваемых случаях. Так как Р принимается положительно определенной матрицей (см. 1.10), то равенство (1.50) может служить для оценки рещения, а величина FkjPkPj может быть принята за плотность энергии возмущений. Само уравнение (1.50) является аналогом теоремы о кинетической энергии в механике. Согласно соотнощению (1.48) энергия возмущений не может расти. [c.82] Затухание синусоидальных возмущений приводит к затуханию произвольных возмущений, которые могут быть представлены интегралом Фурье. [c.82] Левая часть этого равенства совпадает с левой частью равенства (1.7), выражающего соотношение на характеристике в предположении, что fkj = f j. Для достаточно длинных волн правая часть равенства (1.51) мала по сравнению с каждым из слагаемых в левой части, поскольку содержит лишнюю производную. [c.83] Очевидно, /X О, так как в противном случае линеаризованное уравнение (1.52) обладало бы растущими периодическими по X решениями, что запрещено условием неубывания энтропии. В дальнейшем будем считать величину д положительной. [c.84] При = О оно переходит в исследованное в 1.4 уравнение Хопфа, описывающее волну Римана. [c.84] Вернуться к основной статье