ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения законов сохранения в форме Годунова Энтропия из "Нелинейные волны в упругих средах " Гиперболические системы уравнений, выражающие законы сохранения, которые описывают поведение сплошных сред, обладают важным свойством. А именно, в качестве формального следствия правильно записанных уравнений сплошной среды можно получить еще одно дивергентное уравнение, которое в большинстве моделей сплошных сред выражает сохранение энтропии в случае непрерывных процессов. В других моделях оно может выражать сохранение механической энергии, как например, в случае изучения волн по теории мелкой воды. Как показано С.К.Годуновым (Годунов [1962], [1978]), это свойство позволяет записать исходные уравнения в изящной форме, в которой число функций, характеризующих систему уравнений, сокращается и становится равным числу измерений (включая время). Кроме того, явное введение энтропии (так будем называть сохраняющуюся в непрерывных процессах величину) позволит изучить изменение ее плотности и производство энтропии на разрыве. [c.71] Приведенные здесь преобразования лишь знаками отличаются от обычных преобразований Лежандра. [c.72] Две функции F qi) и G qi) полностью характеризуют рассматриваемую систему уравнений. В случае большего числа пространственных переменных вместо одной функции С уравнения будут содержать несколько функций Оа - по числу пространственных переменных. Уравнения (1.40) представляют запись системы (1.2) в форме Годунова. [c.72] Для уравнений теории упругости в форме Пиолы-Кирхгоффа это условие будет проверено в Главе 3. Выпуклость функции F qi) будет предполагаться всюду в этой главе. [c.73] Условие [Р] О приводит к тому, что из множества разрывов, задаваемых ударной адиабатой, следует исключить как нереальные те разрывы, для которых указанное условие нарушено. Если [Р] О, то это указывает на термодинамически необратимый характер явлений внутри разрывов. [c.75] 5 были указаны разрывы, представляющие предельный случай волн Римана с недеформирующимся профилем, в записи которых сама произвольная функция, задающая форму волны, выбирается разрывной. Так как изменение величин в таких разрывах совпадает с изменением их в непрерывных волнах, то производство энтропии в этих разрывах отсутствует и они термодинамически обратимы. К этому типу, наряду с другими, относятся разрывы, называемые тангенциальными и контактными, через поверхность которых отсутствует поток массы. Все разрывы, не представляющие собой предельной формы неопрокидывающейся волны Римана, будем называть ударными волнами. [c.75] Таким образом, с учетом условия (1.42) выпуклости функции Е цк) из равенства (1.44) следует, что знак [Р совпадает со знаком 1 и они обращаются в нуль одновременно. Это значит, что максимумы и минимумы функций [Р] и W совпадают на ударной адиабате и эти точки, как было показано в 1.8, являются точками Жуге, где IV = С . [c.76] Если можно указать такую систему отсчета, в которой тождественно равен нулю поток энтропии д = С — дG/дqi)qi = О, то в ней Р = / а условие [Р] О превращается в условие неубывания энтропии [в] = [/] 0. Для упругой среды или газа такой системой, где д = О, служит лагранжева система координат, связанная со средой (см. Главу 2). [c.76] Отсюда видно, что, если [Р,] , 7 О в точке, где Ж достигает экстремума (точка Жуге), то в этой точке имеет экстремум также энтропия. В Главе 4 будет показано, что для квазипоперечных упругих ударных волн ненулевой интенсивности приращение энтропии совпадает по знаку с приращением скорости на ударной адиабате. [c.76] Подынтегральное выражение положительно и не превосходит по порядку величины сг , а разность — с , определяющая область интегрирования, как показано в 1.7, не превосходит по порядку величины а. Как следует из последнего выражения для [Р], во-первых, производство энтропии, а следовательно и изменение энтропии в слабых ударных волнах не превосходят по порядку величины сг . Во-вторых, эти величины положительны только в ударных волнах, движущихся быстрее, чем с . Первое из этих утверждений независимо получается из доказанной в 1.7 близости ударной адиабаты и интегральной кривой соответствующей волны Римана, а второе показывает, что именно эволюционные малые разрывы удовлетворяют требованию неубывания энтропии. [c.77] Вернуться к основной статье