ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распад произвольного разрыва и другие автомодельные задачи из "Нелинейные волны в упругих средах " Среди задач, решение которых состоит из центрированных волн Римана и ударных волн, важное место занимают автомодельные задачи и, в первую очередь, задача о распаде произвольного разрыва. Предполагается, что при i = О начальные условия задаются следующим образом при а О заданы щ = Ui = onst, при а О заданы щ = и = onst. Требуется построить решение при i 0. Эта задача называется задачей о распаде произвольного начального разрыва. Кроме самостоятельного значения, она имеет также значение как тестовая. Отсутствие решения или его неединственность во многих случаях служат указанием на необходимость внесения уточнений в постановку задачи. В теории упругости такое уточнение может заключаться в переходе к более конкретизированной модели среды (см. Главу 7, где упругая среда рассматривается как предел вязкоупругой при вязкости, стремящейся к нулю). [c.61] Все непрерывные решения оказываются при этом центрированными волнами Римана, кроме того, решение может содержать разрывы и области постоянных значений всех искомых функций. [c.61] Наряду с задачей о распаде произвольного разрыва, в решении которой могут участвовать все имеюшиеся типы волн Римана и ударных волн, в механике сплошной среды часто рассматривают более простую автомодельную задачу о поршне или о волнах в полупространстве. При этом начальные условия щ = Ui = onst задаются только при а О и выставляются также граничные условия обычно на плоскости, состоящей из одних и тех же частиц среды, которая в начальный момент времени занимала положение а = 0. Если х - эйлерова координата, то движение этой ограничивающей среду плоскости задается или находится при решении начально-краевой задачи, а если х -лагранжева координата, то граничные условия выставляются при х = 0. [c.62] Для автомодельности задачи необходимо, чтобы скорость движения плоскости, а также задаваемые на ней значения щ были бы постоянны во времени. Поскольку решение задачи ищется в полупространстве, то оно должно конструироваться только из волн Римана и ударных волн, уходящих от границы. Соответственно, число граничных условий, задаваемых на границе, которое должно удовлетворять требованию эволюционности, меньше порядка системы п. Обычно в конкретных задачах вопрос о постановке граничных условий не вызывает затруднений. Так в задачах об упругих волнах в полупространстве (Глава 5) на границе полупространства могут с равным успехом задаваться (1)вектор скорости среды, (2)вектор нормальных напряжений, (З)три компоненты тензора деформаций. [c.62] Рассмотрим теперь задачу о распаде произвольного разрыва в нелинейной постановке, считая, однако, что изменение величин в волнах, входящих в решение, невелики и для ударных волн можно пользоваться результатами 1.7. В нелинейной постановке появляется различие между ударными волнами и волнами Римана (в линейном решении и та, и другая представляются разрывами). В решении задачи могут присутствовать только расширяющиеся со временем (неопрокидывающиеся) волны Римана, в которых дс1дх О, поскольку в рассматриваемом случае с = x/t. Это требование определяет на кривой, представляющей волну Римана в пространстве и,, вполне определенное направление изменения величин. Как показано в 1.7, состояния за эволюционными ударными волнами лежат на отрезке ударной адиабаты, расположенном по одну сторону от начальной точки. Ударная адиабата касается в начальной точке интегральной кривой волны Римана и имеет с ней одинаковую кривизну, причем эволюционный отрезок ударной адиабаты является продолжением части интегральной кривой волны Римана, соответствующей неопрокидывающимся волнам, начинающимся в начальной точке. Изменение функций щ в т-я волне (ударной или неопрокидывающейся волне Римана) представляется изменением щ от точки, изображающей состояние перед волной (при больших х), до некоторой точки, лежащей на рассмотренной выше составной кривой тп-й волны. [c.64] Таким образом, в общем случае решение задачи о распаде разрыва состоит из п волн различных типов, каждая из которых является либо ударной, либо неопрокидывающейся волной Римана. При этом задача построения решения сводится к тому, чтобы в пространстве щ перейти от точки и = и в точку Иг = Пг, двигаясь ПО п кривым, каждая из которых соответствует волне 1-го, 2-го,. ..,п-го типа. В случае волн бесконечно малой амплитуды каждая из кривых заменялась касательной прямой и в силу некомпланарности этих прямых задача оказывалась однозначно разрешимой. Очевидно, что задача остается однозначно разрешимой и в случае волн конечной но достаточно малой амплитуды, поскольку она остается близкой к линейной. [c.65] Амплитуды изменения величин в волнах и их характер определяются величиной и направлением смещения точки по кривой, соответствующей к-ой. волне. Точно так же решается задача о поршне и другие автомодельные задачи. Важно отметить, что в случае волн малой амплитуды число граничных условий, задаваемых на границе полупространства, равно числу уходящих от нее волн, поскольку это имеет место для случая волн бесконечно малой амплитуды. [c.65] При изучении автомодельных задач для волн конечной амплитуды, ограничимся только рассмотрением особенностей решения в случаях, когда для одной из ударных волн выполняется условие Жуге, или условие Жуге выполнено приближенно. [c.65] Такое взаимное расположение упомянутых кривых не препятствует непрерывной зависимости решения автомодельной задачи в окрестности точки Жуге от параметров, задающих состояние за автомодельной системой волн, распространяющихся по заданному состоянию впереди. Упомянутая непрерывная зависимость очевидна в случае, когда разрыв с рассматриваемой точкой Жуге - самый быстрый в системе волн, дающих решение рассматриваемой задачи. При малом изменении состояния за системой волн в общем случае решение будет содержать либо эволюционный разрыв рассматриваемого быстрого типа, близкий к точке Жуге, либо быстрый разрыв Жуге со следующей за ним быстрой автомодельной неопрокидывающейся волной Римана. Если измененное состояние за системой волн не лежит на эволюционном отрезке ударной адиабаты или на продолжающей ее части интегральной кривой волны Римана, то это приводит к появлению других (отличных от быстрой) волн малой амплитуды. При этом задача всегда оказывается разрешимой, поскольку система векторов, касательных к кривым, задающим изменение величин в этих волнах, и касательная к ударной адиабате в точке Жуге обрадуют невырожденную систему векторов, представляющую полную систему собственных векторов, отвечающих малым возмущениям относительно состояния, задаваемого точкой Жуге. [c.66] В случае, когда рассматриваемая точка Жуге не соответствует самой быстрой волне, разрешимость задачи об определении амплитуд волн выяснить сложнее. Однако, в задачах об упругих волнах в слабоанизотропных средах разрешимость этой задачи будет доказана ниже (Глава 6), и, вообще, разрешимость задачи об определении амплитуд волн соответствует случаю общего положения. [c.66] Если в малой окрестности точки Жуге Е в пространстве щ заменить ударную адиабату 8к и волну Римана Ек-1 их совпадающей касательной, то видно, что изменение параметров, характеризующее две упомянутые волны, приводит к движению вдоль одного и того же луча. Из этого следует, что при вариации амплитуд п различных волн, имеющихся в распоряжении при построении решения, точка и пробегает не всю п-мерную окрестность точки Жуге, а гиперповерхность п-1 измерения. Это показывает несуществование решения в принятом линейном приближении. [c.67] Покажем, что это - поверхность с краем, по другую сторону которого автомодельного решения описанного типа не существует. Найдем кривую, представляющую собой этот край. [c.68] Если по состоянию В за эволюционным разрывом А -го типа, движущимся со скоростью Wв следует достаточно малый эволюционный разрыв (А — 1)-го типа, то его скорость меньше, чем Wв, поскольку за разрывом А -го типа, согласно условиям эволюционности (1.26), в — с 1 0. Если, не меняя состояние В, увеличивать амплитуду (А — 1)-го скачка, то его скорость будет расти и, когда точка, представляющая состояние за этим разрывом, придет в состояние В (рис. 1.13), скорость этого к — 1)-го разрыва станет равной в- В физическом пространстве разрывы А -го и (А — 1)-го типов сольются, образуя один неэволюционный разрыв, соответствующий точке В. Дальнейшее увеличение амплитуды скачка (А - 1)-го типа не имеет физического смысла и не соответствует решениям автомодельной задачи, так как (к - 1)-й разрыв не может обогнать А -й. Это приводит к тому, что в пространстве переменных щ область, где существует рещение, состоящее из двух разрывов А -го и (А — 1)-го типов, ЗкЗк-1, представляет некоторую поверхность, ограниченную кривой, состоящей из точек В и В, т.е. ударной адиабатой. [c.68] По другую сторону от упомянутого края двумерной поверхности автомодельное решение может не существовать, а если существует, то должно иметь другое строение. Как показало рассмотрение волн в анизотропном упругом теле (Глава 5) и, как следует из общих соображений, возможны два случая. [c.69] Как видно из изложенного, упомянутые особенности автомодельных (и некоторых неавтомодеЛьных) решений связаны с наличием тех или других точек Жуге на ударной адиабате. В решении автомодельных задач упругости (Глава 5) имеет место (при X 0) неединственность рассмотренного выше типа, связанная с наличием на ударной адиабате чужой точки Жуге. [c.70] Все утверждения, доказанные для автомодельных решений с аргументом a /i, верны также и для стационарных автомодельных решений (Глава 6) с аргументом = aг tgy/a . [c.70] Вернуться к основной статье