ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поведение ударной адиабаты в окрестности точек Жуге из "Нелинейные волны в упругих средах " В окрестности точек Жуге, где W = с+, можно получить дополнительные сведения о поведении ударной адиабаты и изменении параметров вдоль нее (Hanyga [1976], Куликовский [1979]). [c.56] Для доказательства продифференцируем соотношения на разрыве (1.23) вдоль ударной адиабаты, считая постоянными. [c.56] Уравнение (1.34) аналогично уравнению (1.27) 1.7. [c.56] Тогда из равенства (1.36) следует, что = О при Пк не равных одновременно нулю, т.е. = 0. [c.57] Равенство (1.34) показывает, что при 1 / 1(т = О величины duj являются компонентами правого собственного вектора матрицы и, следовательно, могут представлять малое изменение величины и, в малом возмущении или волне Римана, распространяющейся по состоянию щ в точке Жуге. Это означает, что ударная адиабата в пространстве щ в точке Жуге касается интегральной кривой соответствующей волны Римана. [c.57] При этом определитель системы А в знаменателе меняет знак в точке Жуге вместе с разностью IV — с, а, величины bj в числителе при выполнении условий (1.37) одновременно в нуль не обращаются. В то же время сами duj при движении вдоль дуги ударной адиабаты в одном направлении одновременно знака не меняют. Значит в точке Жуге меняет знак dW. [c.57] Если в некоторой точке dW/da обращается в нуль и меняет при этом знак, то в этой точке функция 1У( т) имеет экстремум. Очевидно верно и обратное. Таким образом, в точке Жуге, где IV = С , функция ( т) имеет экстремум. [c.57] Так как на диаграмме эволюционности на плоскости с ,С (рис. 1.10) по горизонтальной оси скорость откладывается без искажений, то линия У а), изображающая ударную адиабату, пересекает в точках Жуге горизонтальные прямые сетки, имея в них вертикальные касательные (рис. 1.11) (имеются в виду точки пересечения, не соответствующие бесконечно малым разрывам). [c.57] Причина выполнения указанных выше свойств ударной адиабаты очень проста. Если выполнено условие Жуге — с = О, то наряду с исходным разрывом можно рассмотреть как один разрыв комбинацию из исходного разрыва и следующего за ним с той же скоростью малого возмущения. Такой-разрыв будет иметь ту же скорость, что и исходный, откуда следует, что с 1У/с т = О в рассматриваемой точке. Наоборот, если на ударной адиабате имеются две близкие точки, соответствующие разрывам, движущимся с одной и той же скоростью, то переход из одной точки в другую можно считать малым разрывом, движущимся с той же скоростью. Это означает, что условие Жуге = с выполнено там, где эти точки совпадут, если величину разрыва устремить к нулю (т.е. в точке экстремума У). [c.58] Упомянутые выше свойства могут не выполняться при нарушении в точке Жуге условия (1.37). Условие (1.37) требует своей проверки в конкретных ситуациях. [c.58] Следствием доказанных выше утверждений является то, что решение в виде ударной волны Жуге может быть состыковано с решением в виде расширяющейся со временем волны Римана и их скорости в точке стыковки совпадают. В следующем параграфе будет видно, как это важно для построения решений автомодельных задач. [c.59] Рассмотрим в пространстве щ эволюционный отрезок ударной адиабаты с концом в точке Жуге и начинающуюся в этой точке часть интегральной кривой соответствующей неопроки-дывающейся волны Римана. Эти кривые, согласно изложенному, имеют общую касательную в точке Жуге. Однако, касание этих двух линий в пространстве щ может происходить либо так, что одна из них служит продолжением другой, либо обе они направлены в одну сторону, образуя точку возврата. [c.59] На рис. 1.12 сплошной линией изображены дуги ударной адиабаты в окрестности точек Жуге, а штриховой — участки интегральных кривых волн Римана, проходящих через эти точки. Косой штриховкой отмечены эволюционные участки ударной адиабаты, стрелками на интегральных кривых волн Римана обозначены направления убывания характеристической скорости с, т.е. направления изменения параметров в расширяющейся (неопрокидывающейся) волне Римана. [c.59] При выяснении, какой из этих вариантов осуществляется, поможет диаграмма на рис. 1.11. Для определения направления изменения параметров в пространстве щ в расширяющейся со временем (неопрокидывающейся) волне Римана в точках Жуге воспользуемся исследованием малых скачков 1.7. [c.60] Наличие экстремума на ударной адиабате у функции (т) скорости разрыва позволяет найти пару точек, соответствующих одному и тому же заданному значению IV, близкому к экстремальному. Очевидно, скачок из одной такой точки в другую будет удовлетворять всем законам сохранения, а его скорость будет равна тому же значению . Например, на рис. 1.11 изображены скачки Л — Л или В В. Скорость такого малого разрыва равна с,. [c.60] Если ударная адиабата на рис. 1.11 пересекает верхнюю границу области эволюционности, например, в точке J, то этот малый скачок относится к тому же типу, что и основной скачок, и совершается с неэволюционной части ударной адиабаты на эволюционную (из А в А ). Так же из состояния А в А происходит малый скачок в пространстве щ. Тогда интегральная кривая в пространстве щ, соответствующая расширяющейся волне Римана, идет в противоположную сторону й является продолжением эволюционной части ударной адиабаты с общей касательной в точке Жуге (линия JR на рис. 1.12 а). [c.60] Вернуться к основной статье