ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разрывы малой интенсивности из "Нелинейные волны в упругих средах " Сравним изменение параметров в малом скачке и в волне Римана того же типа, т.е. таких, которые в линейном приближении совпадают. [c.51] Изменение Uk в волне Римана задается интегральными кривыми, которые в каждой точке касаются правого собственного вектора г к матрицы a,j , а фазовой скоростью волны служит соответствующее собственное значение с щ) этой матрицы ( 1.3). Обозначим в начальном состоянии перед волной Римана a j(u ) = а , с(и ) = с и будем считать, что с - однократное собственное значение. [c.51] Докажем следующие утверждения (Лаке [1957]) (1) Ударная адиабата и интегральная кривая соответствующей волны Римана с однократной характеристической скоростью с имеют в начальном состоянии точку касания второго порядка (т.е. у них в точке щ = и общая касательная и кривизна) (2) Скорость ударной волны равна полусумме характеристических скоростей перед и за разрывом с ошибкой, не превышающей по порядку величины квадрата изменений щ в разрыве. [c.51] Так как производные берутся здесь по касательной к ударной адиабате, то это равенство утверждает, что в начальной точке имеет место равенство векторов кривизны ударной адиабаты и интегральной кривой волны Римана, имеющих совпадающие касательные. [c.53] Следствия из полученных утверждений дают дополнительные полезные сведения об ударных волнах. [c.53] Кривая, изображающая ударную адиабату в пространстве щ, имеет в начальной точке касание второго порядка с интегральной кривой волны Римана, т.е. различие ударной адиабаты и интегральной кривой волны Римана имеет величину 0 а ), где т -величина порядка амплитуды скачка. В окрестности начальной точки и для любой гладкой функции от щ разница ее изменения на разрыве и в волне Римана не превышает величины В частности, во многих задачах механики это используется для оценки изменения энтропии. [c.53] График (т) на диаграмме эволюционности на рис. 1.10 имеет, таким образом, по крайней мере, п эволюционных отрезков, проходящих в эволюционных прямоугольниках, которым принадлежат малые разрывы всех п типов. [c.55] Заметим сразу, что кроме таких разрывов могут существовать также эволюционные отрезки ударной адиабаты, которые не примыкают ни к одной точке, в которой f = с . Эти отрезки соответствуют разрывам, интенсивность которых при заданном состоянии щ не может быть сделана малой (см. Главу 4). [c.55] Вернуться к основной статье