ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гиперболические системы. Линейные и линеаризованные уравнения. Слабые разрывы Инварианты Римана из "Нелинейные волны в упругих средах " Когда гиперболическая система представлена в виде (1.7), говорят, что она приведена к характеристической форме. Левая часть каждого уравнения содержит производные на плоскости х,1 вдоль одного направления х/сИ = которое называется характеристическим. Линия, касающаяся в каждой точке одного характеристического направления, называется характеристикой, а - скоростью характеристики или характеристической скоростью. [c.19] Каждое из уравнений (1.7), связывающее изменение функций вдоль одного характеристического направления, называют соотношением на соответствующей характеристике. [c.20] Характеристики играют важную роль в формировании решений системы уравнений гиперболического типа при заданных начальных условиях. Задачу нахождения функций (а , ), удовлетворяющих уравнениям (1.6), когда при t = Ьо згьданы значения этих функций Ui x,to) = при всех —сю ж сю, называют задачей Коши. [c.20] В связи с характеристиками особо следует сказать о таком свойстве решений гиперболических уравнений как слабые разрывы. Слабым разрывом называется разрыв производных функций, составляющих решение. Можно показать, что слабые разрывы распространяются с характеристическими скоростями, т.е. по характеристикам. [c.20] Если терпят разрыв п-ые производные от и,, а все га-1-е производные непрерывны, то, дифференцируя систему уравнений п-1 раз по ж и i и действуя подобно предыдущему, можно получить, что линия слабого разрыва совпадает с характеристикой и найти связи между скачками производных. Таким образом, характеристики могут служить линиями склейки решений с различными аналитическими свойствами, представляя часто передние фронты возмущений. [c.22] Эта операция называется линеаризацией уравнений (1.6) около состояния и , а решения полученной системы называют линейными волнами. Коэффициенты aik u j) постоянны, а характеристические скорости малых возмущений с( )(м ), а также собственные векторы зависят от того состояния и , около которого проводилась линеаризация. [c.23] Функции Wm vj) называются инвариантами Римана линейной системы (1.6) с постоянными коэффициентами а, . Полученное решение для (1.11 представляет собой бегущую волну, которая, вижется с постоянной скоростью без изменения формы. Общее решение линейной системы представляется в виде суммы и волн, бегущих с характеристическими скоростями. [c.23] В этом случае при решении задачи Коши значения функций Uk x), а следовательно и Wm x) при t = О заданы начальными условиями в каждой точке оси х. Вдоль каждой из п характеристик на плоскости x,t сохраняется значение соответствующего ей инварианта Римана т х — t) = Wm(a ). Это значит, что в любую точку плоскости ж, t вдоль приходящих в нее п характеристик приносятся значения функций Wm(a ), m = 1. г, заданные в начальный момент. Так можно построить решение задачи Коши для линейной системы уравнений (1.10) в любой момент времени. Очевидно, распоряжаясь видом функций — ( )i), можно удовлетворить произвольным начальным условиям для и,, т.е. найти решение задачи Коши также и для функций Ui[x,t). [c.24] Заметим, что если бы уравнения линейной (т.е. при отсутствии зависимости a,j от Uk) системы (1.6) имели недифференциальные члены или ее коэффициенты зависели бы от х или i, то систему можно было бы привести к виду (1.10), но с правыми частями, не содержащими производных от Wj. При этом функции Wm будут меняться вдоль характеристик, а сама система (1.7) не будет распадаться в общем случае на отдельные уравнения. [c.25] Функции /i(m-y) и hi -y) сохраняются на соответствующих характеристиках и называются инвариантами Римана для системы (1.6) (при п=2) или для системы (1.15). В отличие от уравнений с постоянными коэффициентами теперь являются функциями от ii и /2, а система (1.15) для не распадается на отдельные уравнения, как это было в линейном случае. [c.26] Вернуться к основной статье