ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пределы применимости формулы Эйлера. Таблица для расчетов на продольный изгиб из "Сопротивление материалов " Для расчета стержней на продольный изгиб надо уметь определять величину критической силы. Формула для определения этой силы была впервые выведена знаменитым математиком Л. Эйлером — членом Петербургской Академии наук. Величина критической силы зависит от закрепления концов стержня. Ниже рассматривается определение критической силы при различных условиях закрепления концов стержня. [c.322] Случай 1 (основной). Стержень с шарнирно-опертыми концами (рис. 188). Под действием снижающей силы. [c.322] Для вывода этой формулы примем, что изогнутая упругая линия стержня представляет собой синусоиду. [c.323] На концах стержня при л = 0 и х==1 у = 0, т. е. прогиба не будет. Посредине стержня, т. е. при х = 1/2, прогиб, как нетрудно видеть из уравнения (252), будет равен /. [c.323] Это выражение, определяющее величину критической силы стержня с шарнирно-опертыми концами, и назы-р вается формулой Эйлера. [c.324] Случай 3. Оба конца стержня защемлены (рис. 190). В этом случае предполагается абсолютное защемление концов, т. е. такое, когда концы совершенно неподвижны и касательные к упругой линии по концам стержня совпадают с его осью. [c.325] Упругая линия такого стержня будет состоять из четырех равных частей каждая такая часть длиной IjA будет находиться в таких же условиях, как стержень, закрепленный однИм концом (слу- Ркр чай 2). [c.325] Следовательно, критическая сила будет в 4 раза больше, чем для стержня с шарнирно-опертыми концами. [c.325] Таким образом, определение критической длины для всех случаев закрепления концов стержня может производиться по формуле (259). Надо, однако, помнить, что в этой формуле 1 представляет не действительную длину стержня, а расчетную, или приведенную, длину. [c.326] Необходимо заметить, что в формулу, определяющую критическую силу, следует подставлять минимальное значение осевого центрального момента инерции сечения стержня (если у сечения осевые центральные моменты инерции не одинаковы), так как стержень всегда изгибается в плоскости наименьшей жесткости. [c.327] Отношение Iji принято называть гибкостью стержня и обозначать через А,. Из формулы (263) следует, что критическое напряжение в стержне в случае продольного изгиба обратно пропорционально квадрату отношения расчетной длины к радиусу инерции. [c.327] Эйлер при выводе своей формулы определения критической силы для слсимаемых стержней, предполагал, что материал стержня достаточно упруг и следует закону Гука. [c.328] Как известно, материал следует закону Гука только до тех пор, пока напряжение в нем не достигнет предела пропорциональности. Следовательно, формула Эйлера для разных материалов должна также иметь свои пределы применимости. Она справедлива только до тех пор, пока критическое напряжение в стержне не превзойдет предела пропорциональности материала. В коротких стержнях критическое напряжепие, определяемое при помощи формулы Эйлера, получается выше предела пропорциональности. Поэтому для коротких стержней формула Эйлера полностью не применима. [c.328] Границей применения формулы Эйлера будет тот случай, когда критическое напряжение равно пределу пропорциональности. -На основании этого для любого материала можно определить те предельные значения соотношений геометрических размеров стойки, до которых формула Эйлера применима. [c.328] Аналогичным образом и для любого другого материала можно вычислить предел применимости формулы Эйлера, подставив в формулу (264) значение модуля упругости и предела пропорциональности данного материала. Для чугуна формула Эйлера применима при гибкости 80, для сосны — при 110. Указанный выше, так называемый приведенный модуль пр Е находят опытом. [c.329] Для случаев, когда гибкость стержня меньше предельного значения для данного материала, т. е. когда критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера, больше предела пропорциональности, для определения критического напряжения были предложены эмпирические формулы. [c.329] Допускаемое напряжение о при продольном изгибе до предела пропорциональности и за пределом пропорциональности зависит от материала и гибкости стержня, т. е. от величины X, причем его можно рассматривать как некоторую часть ф от допускаемого напряжения [а] на простое сжатие, т. е. [c.329] Коэффициент ф всегда меньше единицы. Он называется коэффициентом уменьшения допускаемого напряжения, для сжатых, стержней. Коэффициент ф зависит от гибкости стойки % и материала. Таким образом, вводя коэффициент уменьшения ф, проверку на продольный изгиб можно производить, как и в случае простого сжатия, но с уменьшенным допускаемым напряжением на сжатие. [c.329] Вернуться к основной статье