ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемые биллиарды на поверхностях постоянной кривизны из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Здесь V, V, п ТхМ и п — вектор единичной нормали к Г. Траектории, попадающие в точки излома Г, не имеют продолжения. [c.137] Лемма 7. Интеграл биллиарда с границей Г является интегралом геодезического потока на Г. Обратно, квадратичный по скорости интеграл геодезического потока на М и на Т является интегралом биллиарда. [c.137] Биллиард назовем интегрируемым по Биркгофу, если он имеет п—1 полиномиальных по скорости интегралов на Р, находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Отметим, что все интегрируемые биллиарды, описанные в гл. 4, являются интегрируемыми по Биркгофу. [c.138] Так как отображение из множества геодезических на E в множество кососимметрических матриц (кососимметрических 2-форм в R + ) инъективно, то любой первый интеграл геодезического потока на Е является функцией от М. [c.139] Предложение 4. Пусть В — симметрическая матрица. Если граница биллиарда на S составлена из кусков гиперповерхностей r=OTV. [c.139] Недавно А. П. Веселов показал, что в случае Г —биллиард с границей Г можно проинтегрировать в -функциях Якоби [73]. [c.140] Здесь мы воспользовались ортогональностью оператора А, а также соотношениями Лг, г = 0, Лг, т — К. [c.140] Предложение 5. Если биллиард с границей Г имеет непостоянный на фазовом пространстве полиномиальный по скоростям л1нтеграл, то Г состоит из кусков алгебраических кривых на 2. [c.141] Если M (s) 0, то из (3.13), (3.14), (3.16), (3.17) следует, что t(s) и dfjd (M. s)) ортогональны линейной оболочке векторов M(s) и W(s). Таким образом, векторы r(s) и of/oM (M(s)) кол-линеарны, что и требовалось доказать. [c.141] Следствие. Если биллиард на поверхности постоянной кривизны имеет непостоянный на фазовом пространстве квадратичный по скорости интеграл ВМ, М , то каждый негеодезический кусок Г имеет вид (3.9). [c.141] Биллиарды на плоскости Лобачевского, имеющие квадратичный по скорости интеграл, впервые описаны А. М. Абдрахмановым с использованием модели Пуанкаре (см. задачу 4 гл. 4). [c.141] Напомним, что двойственная проективная плоскость КР является множеством прямых в RP , а двойственная кривая 5 RP к кривой Ск есть множество прямых в RP касательных к S. Кривая, двойственная к двойственной, совпадает с исходной (см. [521). [c.142] Тогда S — неприводимая проективная алгебраическая кривая степени d = deg . [c.142] В случае общего положения кривая S степени d имеет по теореме Безу 2d точек трансвереального пересечения с А. Если опустить условие существования точки трансверсального пересечения 5с и Л в случае ненулевой кривизны, то из доказательства следует лишь, что d 3. [c.142] В случае нулевой кривизны кривые (3.9) оказываются семейством софокусных эллипсов и гипербол вместе с двумя предельными прямыми. На рис. 47 изображено такое семейство вместе с интегрируемым биллиардом первого типа. [c.143] Кривые 3.9) могут также образовывать семейство софокусных парабол. Если граница области состоит из кусков таких парабол, а также из куска прямой (3.19), то соответствующий биллиард интегрируем и принадлежит второму типу (см. рис. 48). Биллиард такого вида впервые описан в [48]. [c.143] В силу следствия из предложения 5 каждый негеодезический кусок г имеет вид (3.9). [c.144] Если интеграл Р непостоянен на фазовом пространстве биллиарда, то f( , 1) — непостоянный полином. Из условия (3,22) следует, что квадратичные формы О(М ) и 0 М) зависимы на поверхности Я (М) =1, Поскольку (М ) =М, то либо 0(М )=п= = 0( М), либо К(М )-=—/С(М), где/С(М)=С(М)-сЯ(М) для некоторого с. [c.144] Если кривизна равна нулю и вектор ег параллелен плоскости Г, то первый интеграл оказывается зависящим только от скорости V. т, е. все куски Г оказываются вырожденными. Если ег не параллелен Е, то аналога геодезической I не существует в силу необратимости матрицы Л. Теорема доказана. [c.145] Вернуться к основной статье