ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полиномиальные интегралы и топология биллиардов из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Пусть конфигурационное пространство М лагранжевой механической системы с двумя степенями свободы является гладким связным компактным многообразием с кусочно-гладкой (класса С ) границей дМ, а функция Лагранжа =12 + Ь1 + Ьо принадлежит классу на касательном, расслоении ТМ. Символ Ь,- обозначает функцию, однородную степени / по скоростям. Квадратичную форму 2 будем считать положительно определенной. Функция 2 имеет смысл кинетической энергии механической системы и задает риманову метрику на М. [c.133] Пусть в области М дМ траектории движения являются решениями уравнений Лагранжа, при попадании траектории в гладкую точку границы дМ происходит упругое отражение, при котором энергия Н=Ь2—Ьо сохраняется, а приращение скорости ортогонально границе дМ в метрике Ьг (ср. введение, задача 7). Траектории, попадающие в точки излома дМ, не имеют продолжения. Отметим, что мера начальных условий, соответствующих таким траекториям, равна нулю на ТМ. Эта механическая система является еще одним естественным обобщением биллиарда Биркгофа. [c.133] Зафиксируем трехмерную поверхность уровня Н=к)с1ТМ интеграла энергии. Локально непостоянная измеримая функция Р на уровне [Н—Ь) называется условным по Биркгофу первым интегралом системы, если она постоянна вдоль почти всех траекторий энергии /г [32, гл. И]. В этом параграфе рассматриваются условные интегралы, полиномиальные по скорости (импульсу) и гладкие класса С по координате. [c.133] Топологические препятствия к интегрируемости впервые обнаружены В. В. Козловым. В работе [20] рассмотрена динамика обратимой системы с лагранжианом = г + Ьо, пространство положений которой — аналитическая двумерная компактная поверхность М. Доказано, что при условии %(М) 0 уравнения движения не имеют аналитического интеграла, независимого от интеграла энергии. Препятствием является наличие бесконечного числа неустойчивых периодических решений. [c.134] Впоследствии другое доказательство этого результата для случая геодезического потока (когда Ь = Ьч) было дано В. Н. Коло-кольцовым [24]. Из-за свойства однородности уравнений движения здесь можно ограничиться рассмотрением полиномиальных интегралов. Обобщение теоремы о неинтегрируемости для систем с добавочными гироскопическими силами (когда Ь ФО) дано С. В. Болотиным [7]. Теорема 2 — дискретный аналог этих результатов. Отметим ряд следствий. [c.134] что в случае 1 =0 и отрицательных кривизн К и у. биллиард оказывается эргодичным на уровне энергии [Н= Н] [З ), так что он не имеет даже измеримых условных интегралов на Н = к . [c.135] Предложение 3. Комплексные импульсы р до и после отражения от границы дМ в гладкой точке связаны формулой р+т — р-г, где т — комплексный касательный вектор к дМ в точке отражения г. [c.135] Действительно, так как углы между парами векторов и 1, т и 2 равны и 1г+ = 12 (в силу закона отражения), то величины 2+/т и 2 /х комплексно сопряжены. Остается воспользоваться равенствами p — 2g z)z . [c.135] По теореме Римана Г50] существует конформное отображение открытой римановой поверхности М дМ на N dN, где N — компактная риманова поверхность с краем дМ, состоящим из конечного числа окружностей. Оно продолжается до гомеоморфизма М и N, конформного в гладких точках края дМ. Пусть Q — мероморфный дифференциал на N dN, соответствующий Ип при этом отображении. Он непрерывно продолжается на всю границу dN,. за исключением конечного числа точек, соответствующих особым точкам дифференциала Ип и точкам излома дМ. [c.136] Пусть N — поверхность N с конформной структурой, определяемой локальными координатами f, где — локальные конформные координаты на N, а S = NUN — поверхность, получаемая склеиванием N н N вдоль dN. Тогда 5 —компактная риманова поверхность без края (дубль поверхности /V). [c.136] Так как ограничение дифференциала Q на dN вещественно, то по принципу симметрии Римана — Шварца Q продолжается до однозначного дифференциала, почти всюду голоморфного на 5. Он имеет полюсы в точках, соответствующих нулям коэффициента f , и не имеет других нулей и полюсов кроме точек, соответствующих изломам границы дМ. [c.136] Если в соотношении (2.1) имеет место знак равенства, то все особые точки дифференциала й соответствуют точкам излома границы дМ, причем порядок й-й особой точки равен п %кЫ— ) Сле довательно, числа пб /л — целые. Что и требовалось доказать. [c.137] Вернуться к основной статье