ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неинтегрируемость типичного биллиарда Биркгофа из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Напомним, что локально непостоянная функция — Н называется первым интегралом биллиарда, если р0 = р, т. е. функция Р постоянна на всех траекториях. [c.120] Биллиард, обладающий нетривальным первым интегралом, естественно назвать интегрируемым. В четвертой главе были указаны многочисленные примеры интегрируемых биллиардов. [c.120] Предложение 1. Точки тора Т , отвечающие невырожденным периодическим траекториям, являются критическими для любого первого интеграла биллиарда. [c.120] Во второй главе доказано существование бесконечного количества периодических решений у биллиарда Биркгофа. Основываясь на этом результате и используя предложение 1, можно доказать неинтегрирувхмость типичного биллиарда. [c.121] Сначала введем пространство кривых, задающих выпуклые биллиарды. [c.121] Доказательство этого утверждения можно найти, например, в. [62]. [c.121] Легко понять, что не всякой функции /(й) соответствует выпуклая кривая. Условие выпуклости накладывает ограничение на вторую производную /. [c.121] Теорема . Для любых фиксированных А, а 0 в пространстве ил,а интегрируемые биллиарды образуют подмножество первой категории Бэра (представимое в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных в Уа г ). [c.123] Другими словами, в некотором смысле, почти все аналитические биллиарды являются неинтегрируемыми. В идейном отношении теорема 1 аналогична известному результату К. Зигеля о неинтегрируемости типичной гамильтоновой системы в окрестности устойчивого положения равновесия [71]. [c.123] Вся остальная часть 1 посвящена доказательству теоремы 1. [c.123] Лемма 2. Множество граничных кривых, лежащих в и таких, что каждая из них имеет невырожденную периодическую траекторию типа (п, к), всюду плотно в иА,а. для любых натуральных к, п к п. [c.123] Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123] Кривая, которую мы построим, будет совпадать с исходной и иметь ту же касательную в точках йц,. .., общих с вписанной ломаной, задающей периодическое решение (некоторые из величин Оь П могут совпадать). [c.123] Теперь докажем, что определитель (1.4) не равен нулю, когда 0ф4ь.ф4т кфт 1 й, т 1. Эти условия в нашем случае выполняются автоматически. [c.125] Осталось проверить, что функции От(0,. . ., О, ), от 1,. . , можно продолжить на весь отрезок [О, 1]. Это будет действительно так, если точка 1(0,. . . , О, ),. . . , Оп(0,. . . [c.127] Проверим теперь, что множество V, кривых из U .a, описанных в лемме 4, содержит открытое в /д, множество. [c.127] Последняя сумма за счет выбора 8 может быть сделана как угодно малой. Лемма 3 доказана. [c.128] Таким образом, в пространстве и а, л существует щар достаточно малого радиуса с центром в /, целиком лежащий в а. Действительно, как следует из доказательства п. б) ле лмы 3, все элементы этого шара будут близки поточечно к I и иметь в соответствующих точках близкие первые и вторые производные с аналогичными производными /. Лемма доказана. [c.128] При доказательстве леммы 3 также можем использовать ломаные максимальной длины, при этом соответствующие траектории близлежащих кривых тоже будут иметь локально максимальный периметр. [c.129] Из приведенного замечания следует, что в пространстве UA,a множество второй категории Бэра образует граничные кривые, обладающие для любых (п, k) N , n k, невырожденным гиперболическим периодическим решением типа (п, к). [c.129] Вернуться к основной статье