ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемые биллиарды на эллипсоидах из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Здесь Л К + — — самосопряженный линейный оператор. Наиболее интересным является случай, когда оператор А положительно определен. Тогда уравнение (2.1) задает п-мерный эллипсоид. [c.104] Они называются эллиптическими значению i=0 отвечает исходный эллипсоид (2.1). Оказывается, в координатах Я +ь. ..Дг на эллипсоиде (2.2) уравнения движения (являющиеся, конечно, уравнениями геодезических) разделяются. [c.105] С геометрической точки зрения интегрируемость задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде означает следующее касательные прямые к геодезической линии квадрики (2.1) в R +, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще п—1 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Это знаменитая теорема Якоби — Шаля. По словам Якоби, она принадлежит ...к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии [56, с. 185 русского перевода]. Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в трехмерном пространстве, приходим к малой теореме Понселе (см. 1). [c.105] Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105] Пусть I — кусочно-гладкая п-мерная поверхность, расположенная на эллипсоиде По и ограниченная некоторым числом со-фокусных квадрик. С поверхностью S естественным образом связан биллиард точка движется по геодезическим внутри S и упруго отражается от ее границ. [c.105] Теорема 1. Биллиард в 2 — вполне интегрируемая динами-ческая система. [c.105] Доказательство основано на том факте, что интегралы задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде являются интегралами биллиардной системы в E. Явное интегрирование осуществляется с помощью эллиптических координат (ср. с 1). В частном случае, когда п = 3, устремим одну из полуосей к нулю. Тогда в пределе получим серию интегрируемых биллиардов, ограниченных софокусными кониками на двумерной евклидовой плоскости (рис. 41). [c.105] С помощью формулы (2.5) нетрудно проверить, что выражение, заключенное в квадратные скобки, равно нулю. Лемма доказана. Вместе с ней доказана и теорема 1. [c.107] В ряде случаев (когда, например, среди чисел а, Ь, с есть равные) система конфокальных квадрик (2.2) вырождается. Все они расклассифицированы имеется 10 различных типов вырождения эллиптических координат Якоби, среди них — обычные декартовы координаты в (см., например, Г64, гл. 5]). Для нас наибольший интерес представляют два случая вырождения. [c.107] Этот биллиард имеет дополнительный квадратичный по скорости г интеграл. Явное интегрирование осуществляется с использо ванием конических координат. Если радиус сферы 5 устремить к бесконечности, то в пределе получим эллиптический биллиард Биркгофа, рассмотренный в 1. [c.108] Теорема 2 указывает семейство интегрируемых биллиардов на двумерной поверхности постоянной положительной кривизны. Как заметил С. В, Болотин, аналогичный результат имеет место и для поверхностей постоянной отрицательной кривизны. [c.108] Этот результат может быть обобщен на многомерный случай. Явные формулы для траекторий интегрируемых биллиардов с квадратичными интегралами, содержащие -функции, можно найти в работах А. П. Веселова [12 73]. [c.109] Рассмотрим задачу о движении тяжелой материальной точки в вертикальной плоскости К2 = х, у) (ось х горизонтальна) с односторонней связью у х 1 2а). В области у х / 2а) движение происходит по параболе, причем удар о ее границу предполагается абсолютно упругим. Эта задача, как отмечено в работе [37], также оказывается вполне интегрируемой. [c.109] Здесь a — rn g 4, — тк/2 + т (а+Ь)ц/, т — масса точки, — ускорение свободного падения, /г — полная энергия точки, — постоянная интегрирования. [c.109] Вернуться к основной статье