ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Мультипликаторы и гессиан из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Замечание 1. Теорема 3 верна для любых биллиардов, ограниченных гладкой или кусочно-гладкой кривой, причем выпук лость кривой не существенна. Важно только, чтобы кривая была гладкой в точках ф . ф°. Радиусы кривизны Ди. .., Дп при вычислении матрицы Нп необходимо брать с соответствующими знаками в зависимости от локальной выпуклости или вогнутости кривой. [c.71] Зам ечание 2. Теорема 3 остается верной и в случае ненатурального параметра ф. [c.71] Действительно, при доказательстве теоремы 3 выпуклость нигде не используется, а натуральность параметра была использована лишь при вычислении элементов матрицы в предложении 3, причем его формулировка к натуральному параметру не апеллирует. [c.71] Теорема 3 имеет несколько важных следствий. [c.71] Следствие 1. Невырожденность (вырожденность) по Пуанкаре равносильна невырожденности (вырожденности) по Морсу. [c.71] Следствие 2. Невырожденная п-звенная периодическая траектория имеет гиперболический тип, если величина п—т ф четна. [c.72] Значит, существует вещественный корень Я1 1. Следствие доказано. [c.72] Каждой га-звенной периодической траектории ф 6 Т соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т , полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72] Следствие 3 (критерий гиперболичности и эллиптичности). Невырожденная периодическая траектория ф является гипербо-лической (эллиптической) тогда и только тогда, когда ф невырождена и пдф четный (нечетный). [c.72] Доказательство следствия 3. Если пёф четн1 й, то в силу следствия 2 и четности числа 2п заключаем, что ф , а следовательно, и ф гиперболичны. [c.72] Теорема 3 дает еще один критерий гиперболичности (эллиптичности) периодической траектории. [c.72] Следствие 4. Периодическая траектория ф еТ является гиперболичной, если 12+1(1е1(—Я )-(Ь1...6 )-Ч 2, и эллиптичной, если l2+,det(—Я )-(г 1...г )-М 2. [c.72] Тогда в силу теоремы 3, ТгР=2+ с1е (—Я ) (/61...Ьп)-. С другой стороны, величина ТгР равна сумме мультипликаторов. Значит, при 1ТгР 2 траектория имеет гиперболический тип, а при ТгР 2 — эллиптический. [c.73] Покажем, что матрица Я (Я) вырождена. [c.73] Вернуться к основной статье