ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрицы Гессе и Пуанкаре из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " В силу принципа Мопертюи каждой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует критическая точка функции длины L на торе Т . С другой стороны, периодические решения динамических систем являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. [c.66] Свойства критических точек гладких функций характеризуются индексом Морса, а неподвижным точкам отображения Пуанкаре сопоставляют характеристические показатели, от которых зависит динамическая устойчивость траектории. Оставшаяся часть этой главы посвящена описанию связи между этими двумя характеристиками периодической траектории биллиарда. [c.67] Пусть ф1, ф2,. . . — некоторая траектория биллиарда Биркгофа. Очевидно, она однозначно задается углами ф , ф , если взять их за начальные условия. Таким обрасом, движение системы характеризуется последовательностью точек (ф , ф ), (ф , фз),.. . на торе Т2 = (ф1, ф2)то(11 . [c.67] Пусть имеется ге-звенная периодическая траектория с начальным условием (ф1, фг)бТ . Рассмотрим отображение Ф Т — -Т , сопоставляющее каждой точке тора точку, получающуюся после п отражений от кривой биллиарда. Тогда Фг) = = (фь. фг) и для рассматриваемого периодического решения Г является отображением Пуанкаре. [c.67] Одним из важнейших понятий, возникающих при изучении неподвижных точек отображения Пуанкаре, является понятие невырожденности, введенное в [66]. [c.67] Определение 1. Периодическое решение с начальным. условием (ф , фг), имеющее п звеньев, называется невырожденным по Пуанкаре, если спектр матрицы рт /5ф = Р в точке ф = (фь, ф ) не содержит единицы. [c.67] Матрицу Р назовем матрицей Пуанкаре. [c.67] Сразу возникает вопрос о корректности определения I, поскольку в качестве начального условия можно брать точки (ф2 фз) , (ф ф ) и т. д. В данном случае корректность несложно доказать непосредственно, но мы получим ее как одно из следствий теоремы 3. [c.67] Хорошо известно, что критические точки гладких функций тоже могут быть вырожденными или невырожденными. Важность этих понятий особенно хорошо видна в теории Морса 116]. [c.67] Это определение уже заведомо корректно, так как функция I сохраняется при циклической перестановке аргументов и, следовательно, не важно, какую (из п возможных) критическую точку на Т сопоставить данному периодическому решению. [c.67] Одним из важных следствий теоремы 2 будет эквивалентность невырожденности (вырожденности) по Морсу и по Пуанкаре. Отсюда, кстати, и будет следовать корректность определения 1. [c.67] Элементы матрицы Гессе L/(5ф в критической точке фоеТ можно выразить через характеристики кривой биллиарда и периодического решения. [c.68] Следствие. Если критическая точка ф°еТ функции длины вырождена, то как угодно малым изменением радиусов кривизны Я и. .., Яп ее можно сделать невырожденной. [c.69] Пусть Р Сф/, Ф/+1) = (ф/+1, фл-з)- Найдем элементы матрицы Для этого достаточно вычислить производные Зфг+г/дф/, 5ф(+2/5ф +1. [c.70] Заметим, что в силу предложения 3 все величины Ь/, больше нуля. [c.71] Значит, произведение корней характеристического уравнения 1е1(Р—=0 равно 1 (здесь Е — единичная матрица размером 2x2). Его корни А-ь называются мультипликаторами. [c.71] Если они действительны и не равны по модулю единице, то периодическое решение называется гиперболическим. Оно является неустойчивым. [c.71] 1 и Хг не лежат на действительной прямой, то периодическое решение называется эллиптическим. Оно устойчиво в первом приближении. [c.71] Если Х =Хг—, то решение вырождено по Пуанкаре. Оставшийся случай Х1=Х2——1 назовем параболическим. [c.71] В дальнейшем для сокращения обозначений будем отождествлять периодическую траекторию с соответствующей критической точкой функции длины Ь на Т . [c.71] Вернуться к основной статье