ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Усреднение в системах с ударами из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " В дальнейшем нас уже не будут интересовать вопросы физического обоснования теории удара. Поэтому, не оговаривая особо, мы будем использовать упрощенную модель взаимодействия точки с преградой (см. 2, 3). [c.49] Теорема 4 дает возможность исследования движения механических систем с ударами на больших интервалах времени, основываясь на использовании дифференциальных уравнений определенного вида. Поясним эту идею на некоторых модельных задачах. [c.49] Рассмотрим классическую задачу о движении точки между параллельными стенками с абсолютно упругими отражениями. Если расстояние между стенками I медленно меняется со временем где f — гладкая функция, е — малый параметр), то произведение скорости точки V на расстояние I является адиабатическим инвариантом на временах t порядка е справедливо неравенство —у(0)/(О) 1 се, с=сопз1 0 (введение, задача 5). [c.49] Переходя к пределу при N— оо и замечая, что в этом случае 2Н=Ф, получаем классическую формулу 1 = уЦл. [c.50] Так как 1пе 0, то скорость медленно убывает. Согласно результатам теории возмущений ([3, гл. 5]), эта формула удовлетворительно описывает эволюцию движения на временах порядка 1/(1—е). Поэтому (ввиду близости е к 1) здесь можно заменить Ine на е—1. [c.51] В переменных Н, получим фазовый портрет линейной системы дифференциальных уравнений, у которой положение равновесия Н = К=0 является устойчивым узлом (поскольку а, Ь 0). [c.52] Особенно просто система (4.5) выглядит в случае, когда Ь = =2а функция Я//С является ее первым интегралом. Этот факт эквивалентен постоянству угла отскока точки от границы биллиарда. [c.52] 10) и (4.6) получаем, что к —— l+i kbelY + о(е). Для коэффициента восстановления по касательной получаем аналогично формулу .t = 1 — 2izkaelVс + о(е). Если b = 2а, то = — Х 4-+ о(е). В случае равенства = 1,. очевидно, угол падения равен углу отражения. [c.52] Вернуться к основной статье