ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенный закон Кирхгофа (ОЗК) из "Фотоны и нелинейная оптика " Линейная ФДТ является по существу обобщением теоремы Найквиста, произведенным в основном в работах Каллена, Вель-тона и Кубо. Она связывает флуктуации / внутренних параметров равновесной системы с ее линейной восприимчивостью по отношению к слабой силе (которая предполагается заданной и классической). ФДТ, таким образом, связывает статистические и кинетические характеристики системы и является одной из наиболее общих теорем неравновесной термодинамики. В литературе (см., например, [143, 144]) ) линейная ФДТ и смежные вопросы (симметрия и аналитические свойства правила сумм и т. д.) освещены достаточно подробно, и мы здесь приведем лишь ее краткий вывод и попутно введем некоторые обозначения и названия, необходимые для дальнейшего. [c.65] Следует отметить, что использование ФДТ (как линейной, так и нелинейной) для определения спектра теплового излучения при учете оптического ангармонизма веш ества требует некоторой осторожности (гл. 5). [c.66] Надо отметить, что вывод линейной ФДТ сразу в спектральной форме проще [143, 144], однако временной формализм, по-види-мому, компактнее при выводе квадратичной ФДТ. [c.69] Представляет интерес также изменение ф( (F) под действием накачки. Например, в [148] линейную по накачке часть ф удалось выразить через х и температуру. Эту связь такнче можно считать квадратичной ФДТ. [c.72] Приближенная кубическая ФДТ. Выражение для квадратичной по накачке части флуктуаций ф через кубическую восприимчивость х было найдено в работе [145] (см. также [11, 146, 147]) при пренебрежении линейным поглош ением. Мы приведем здесь эту связь, дополнив ее слагаемым, описывающим корреляцию стоксовых и антистоксовых спектральных компонент [136]. Общее обсуждение связей между различными четырехиндексными величинами можно найти в [149, 188]. [c.72] Предполагая в предыдущем разделе существование независящего от начальных условий отклика системы на действие внешней силы, мы неявно постулировали наличие процессов релаксации. Эти процессы приводят к забыванию системой ее начального состояния, к установлению стационарного отклика при воздействии гармонического возмущения и к возвращению системы к тепловому равновесию после выключения силы. Релаксация вводится в динамическую теорию с помощью термостата — второй системы, имеющей бесконечное число степеней свободы и, следовательно, бесконечную длительность цикла Пуанкаре , т. е. периода повторения состояния. В классические теории релаксация легко вводится феноменологически — добавлением в уравнение сил трения, пропорциональных скорости. В дина-мичес1ше квантовые модели бесконечно слабая релаксация и необратимость уравнений движения вводится с помощью адиабатического множителя е при энергии возмущения (2.3.23). [c.74] Однако термостат не только демпфирует движение системы, но и неизбежно (при Т Ф ) раскачивает ее случайным образом. Наглядным и важным историческим примером является броуновское движение пылинки. Под действием бесчисленных ударов молекул воздуха ее первоначальное поступательное движение затухает (или устанавливается на стационарном уровне при наличии внешней силы) и сменяется диффузионным хаотическим движением. Знаменитое соотношение Эйнштейна между коэффициентами диффузии и трения положило начало серии флуктуациопно-диссипативных теорем. [c.74] Для описания броуновского движения классических моделей разработано два важных и, как правило, эквивалентных метода ланжевеновский, основанный на добавлении в уравнение движения, кроме сил трения, еще шумовых сил (их коррелятор определяется через константу затухания с помощью ФДТ), и марковский, основанный на уравнении Фоккера — Планка для условной вероятности перехода системы из одного состояния в другое. В последнее время в связи с развитием квантовой оптики и электроники эти методы были обобщены для описания броуновского движения квантовых систем, например, гармонического осциллятора или моды резонатора [5]. [c.74] Наиболее общий метод одновременного описания флуктуаций в слабо-неравновесных системах и процессов релаксации основан на так называемых кинетических уравнениях, первое из которых было введено Больцманом около ста лет назад. Мы рассмотрим ниже в качестве примера один из простейших вариантов вывода кинетического уравнения. [c.74] Приближение (4) означает пренебрежение обратным влиянием системы А В.А В ж пренебрежение быстрыми изменениями рл t) в результате отдельных столкновений . Это по существу марковское приближение, согласно которому поведение системы в данный момент не зависит от ее достаточно далекого прошлого. Кроме того, учет в (5) лишь слагаемых второго порядка по (т. е. лишь двухчастичных столкновений ) предполагает слабость взаимодействия. [c.75] Положим g (г) = /1 ( ) /а t). .. f] ( ), тогда (12) определяет скорость изменения одновременного к-го момента системы через разновременные моменты порядка к - - 2. Эти моменты определяются в представлении взаимодействия, так что согласно (2.2.35) их можно выразить через одновременные моменты и неоператорпые функции времени. Если собственные частоты невозмущенной термостатом системы известны, то интегрирование в (12) можно провести явно. Таким образом, уравнение (12) является дифференциальным, а не интегро-дифференциальным (как это и должно быть для марковского процесса). [c.77] система А линейна (например, если система А — это электромагнитное поле — см. гл. 3), то коммутаторы [/, / ] суть с-числа, а средние от [ , /] являются моментами порядка /с — 1, и в результате в левой и правой частях (12) фигурируют моменты одного порядка к, т. е. (12) в этом случае представляет замкнутую систему кинетических уравнений для момента порядка к (иногда удобнее в качестве наблюдаемой выбрать характеристическую функцию — см. 4.4). [c.77] кинетическое уравнение в принципе описывает изменение всех статистических свойств системы под действием термостата и внешних сил. Подчеркнем, что в отличие от ФДТ решение кинетического уравнения определяет все моменты в неравновесной системе, включая и восприимчивость — отношение первого момента к силе. ФДТ же лишь утверждает, что отношение второго момента равновесной системы к восприимчивости в спектральном представлении есть универсальная функция температуры Ж. Это утверждение зато в отличие от выводов из кинетического уравнения не ограничено никакими приближениями, кроме условия равновесности. [c.77] Здесь первое слагаемое в фигурных скобках пропорционально населенностям верхних уровней термостата для данной пары (а, Ь), а второе слагаемое пропорционально разностям населенностей. Если системой А является электромагнитное поле, а термостатом — заряженные частицы, то эти слагаемые описывают спонтанные и вынулчденные эффекты соответственно. [c.79] Согласно (5) продольная часть поля определяется положением зарядов в тот же момент времени, и поэтому она не является динамической переменной. [c.81] Пространственное фурье-преобразование полей. Переход (1.1.14) от непрерывного аргумента г к дискретному U делает счетным множество переменных, определяющих состояние рассматриваемой системы — электромагнитного поля внутри L , — и тем самым позволяет использовать рецепт квантования уравнений движения, описанный в 2.1. [c.81] Подчеркнем, что размеры и положение в пространстве нормировочного параллелепипеда могут быть любыми, например, L = 1 см или 1 км . При этом для данного реального поля Е г) в зависимости от объема и его расположения будет изменяться гармонический состав Ён. Совокупность комплексных гармоник Ей (t) точно определяет поле внутри выбранного ящика периодичности (и не имеет отношения в общем случае к полю вне X ) или, как говорят, образует if i-представление электрического поля. Аналогично функция Е г, t) образует ri-представление. [c.81] Заметим, что при непрерывном повороте тройки еи на 180° вокруг, например, вкг новое направление обратно старому. Мы, однако, условимся, что волновым векторам к и —к соответствуют одни и те же орты поляризации вк = ek . [c.82] Вернуться к основной статье