ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Переменные поля первого, второго, третьего и четвертого рода Уравнения внутренних связей из "Аналитическая механика континуальных систем " Первый род связей может быть аналитически определен, если переменными поля являются компоненты вектора перемещения и. Связи второго рода описываются аналитическими условиями, если переменными поля являются компоненты вектора скорости элемента сплошной среды. В первом и во втором случаях переменные поля образуют трехмерное функциональное пространство. [c.15] Связи третьего рода определяются, как уже было сказано, уравнениями Сен-Венана или Кренера. Здесь переменными поля являются компоненты тензора деформаций, образующие шестимерное функциональное пространство. На возможных обобщениях этих переменных останавливаться не будем. [c.15] Рассмотрим уравнения связей в переменных поля первого рода, т. е. связи первого рода. Здесь для определенности будет идти речь о деформируемом твердом теле. [c.15] Отметим, что в правую часть равенства (2.1) может быть внесен постоянный множитель при I. Рассмотрим точку М х ) сплошной среды. Представим себе, что через точку М проведена произвольная поверхность 5. Обозначим части тела, разделенные поверхностью 5, соответственно (1) и (2). Рассмотрим поле вектора перемещений иг(х ). [c.16] Здесь индексами (1) и (2) обозначена принадлежность вектора и двум частям среды. Равенства (2.2) имеют место в произвольной точке М среди в произвольный момент времени и, что особенно важно, при всех возможных расположениях поверхности 5, проходящей через точку Л1. Неопределенность положения поверхности раздела 5 придает равенству (2.2) своеобразный смысл. Эта неопределенность позволяет, в частности, производить над равенством (2.2) операции дифференцирования. [c.16] При таком истолковании упоминание о поверхности 5 при написании равенств (2.2) и следствий из них излишне. [c.16] Равенства (2.2) мы имеем право назвать уравнениями связей, так как они не зависят от закона движения сплошной среды. Если пользоваться первой интерпретацией равенств (2.2), то уравнения связей (2.2) отличаются от уравнений связей, известных из аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы тем, что они существуют на поверхности 5, совершенно произвольной, и это, в явной форме, не отражено в уравнениях (2.2). [c.16] Соотношение (2.5) получено при предположении, что независимые переменные не варьируются, т. е. [c.17] Будем рассматривать, для общности, совокупность трех пространственных координат и времени как четырехмерный пространственно-временной континуум. В большинстве случаев эта общность излишня. Можно ограничиться трехмерным пространством координат хк Но иногда общий подход оказывается целесообразным. [c.18] В дальнейшем предполагается, что подынтегральные выражения по своим аналитическим свойствам допускают изменение порядка интегрирования. [c.18] Нельзя утверждать, что работа ЬАр равна нулю. Нельзя даже указать знак бЛ . Это не позволяет отнести реакции связей первого рода к идеальным связям Ч Однако в отличие от классической аналитической механики можно показать, что это заключение связано с выбором переменных поля [52]. [c.20] Как будет видно из дальнейшего, для составления уравнения движения достаточно применить равенство (2.19). В это равенство входит тензор множителей Лагранжа — единственный след этих неклассических связей. [c.20] Если ограничение свойств пространства, связанного с деформируемой средой нежелательно, вместо связей первого рода, зависящих от введения компонент вектора смещений как переменных поля, следует вводить связи второго рода, зависящие от введения компонент вектора скорости элемента сплошной среды как переменных поля. Эти переменные поля будем называть переменными поля второго рода. [c.20] Условия (2.21) тождественно выполняются в евклидовом пространстве. Их введение эквивалентно постулированию евклидовых свойств трехмерного пространства. В случае пространства с числом измерений, превышающим три, равенства (2.21) не обеспечивают равенство нулю тензора кривизны и, следовательно, евклидовы свойства пространства. [c.21] В трехмерном пространстве число функциональных степеней свободы уменьшается. Если, следуя Кренеру, рассматривать несимметричный тензор т]гй, то система будет иметь 15 функциональных степеней свободы, но при этом надо ввести обобщенный тензор R h, известный из неголономной геометрии, и потребовать, чтобы коэффициенты вращения Риччи не зависели от закона движения элемента сплошной среды. При симметричном тензоре т] система будет иметь 12 функциональных степеней свободы в трехмерном пространстве. Аналогичные заключения можно сделать об уравнениях (2.23). [c.22] Возможен и иной, более ограниченный, способ рассуждений, известный из аналитической механики. [c.22] Здесь С — символы Кронекера. [c.23] Далее предполагается, что зависит от параметров, не связанных с движением системы. Это упрощающее предположение позволит более отчетливо выявить то общее свойство связей третьего рода, на котором сосредоточено наше внимание. [c.23] Рассмотрим общее уравнение динамики сплошной среды. Сначала воспользуемся переменными поля первого рода и предположим, что дополнительные члены, зависящие от термомеханических эффектов, отсутствуют. Известно, что такое предположение справедливо при изотермических и адиабатических процессах. Ниже будет приведено обобщенное общее уравнение динамики, не требующее упрощающих предположений. [c.25] Обычно общее уравнение динамики рассматривается в трехмерном пространстве. Здесь мы воспользуемся четырехмерным пространственно-временным континуумом. [c.25] Вернуться к основной статье