ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аналитическая механика непрерывной среды в лагранжевом и эйлеровом представлениях из "Аналитическая механика континуальных систем " Как видно из основного труда Лагранжа [74], он рассматривал сплошную среду как несвободную систему, сосредоточив внимание на невязкой несжимаемой жидкости. Исходя из общего уравнения динамики и метода множителей, Лагранж получает общие уравнения гидродинамики с множителем %. Здесь Лагранж вводит известные переменные, носящие теперь его имя. Эти переменные индивидуализируют частицы среды, в частности жидкости. Физический смысл множителя X вытекает из заключений, приведенных в основах аналитической механики. Множитель Х — давление, производимое на поверхность выделенного объема жидкости остальной жидкостью [74, с. 312]. [c.8] Однако Лагранж замечает, что составленные им уравнения весьма сложны. Поэтому он переходит от введенных им переменных посредством их преобразования к тем, которые в настоящее время называются переменными Эйлера. В результате Лагранж получает уравнения движения невязкой жидкости, которые теперь называются уравнениями Эйлера [74, с. 327]. [c.8] Лагранж упоминает о работах Эйлера по гидродинамике в разделе своего труда, содержащем теорию движения невязкой несжимаемой жидкости. Однако, получив уравнения Эйлера, он о нем не упоминает. [c.9] Такие случаи наблюдаются и в настоящее время. Например, в книге Зоммерфельда [25] гидродинамическое давление рассматривается как множитель Лагранжа, без упоминания о том, что так поступал сам Лагранж. Следует отметить, что Зоммер-фельд исходит не из общего уравнения динамики, а из принципа Гамильтона — Остроградского и его рассуждения более доступны современному читателю, чем рассуждения Лагранжа. [c.9] Обобщая сказанное, остановимся на двух взаимосвязанных вопросах. [c.9] Прежде всего, укажем общую характеристику механической системы, которой является сплощная среда, отнеся ее к свободным или к несвободным системам. Затем отметим общность и противоречивость двух способов описания сплошной среды — способа Лагранжа и способа Эйлера. [c.9] Согласно Лагранжу, сплошная среда, в частности несжимаемая невязкая жидкость, является несвободной механической системой. Лагранж рассматривает уравнение неразрывности как условное уравнение , или, по современной терминологии, как уравнение связи. Этой же точки зрения придерживается Зоммерфельд. [c.9] Однако введение в XIX в. аксиомы об освобождаемости от связей формально позволяет заменить несвободную систему свободной, если приложить к ее элементам силы, равные реакциям отброшенных связей. [c.9] Аксиома об освобождаемости от связей позволяет отказаться от определения уравнения неразрывности как уравнения связи. Уравнение неразрывности — четвертое уравнение, которое в сочетании с тремя уравнениями движения в переменных Эйлера составляет систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты четырехмерного тензора энергии-импульсов в четырехмерном пространственно-временном континууме [38]. Таким образом, создается впечатление о глубоком различии между методами Лагранжа и Эйлера изучения движения сплошной среды. Однако это различие в значительной степени кажущееся. В действительности метод множителей Лагранжа по существу эквивалентен аксиоме об освобождаемости от связей [40]. [c.9] Переменные Лагранжа от времени не зависят и, как уже было сказано, характеризуют индивидуальное движение частицы. Следовательно, при подстановке в равенства (1.2) координат X, у, г как функций времени i должно исключаться. [c.10] И подставляя эти соотнощения в равенства (1.3), получаем систему дифференциальных уравнений. Интегрируя их, приходим к равенствам (1.1), где а, Ь, с — постоянные интегрирования. Здесь вновь с очевидностью проявляется общность способов Лагранжа и Эйлера. [c.10] Вернуться к основной статье