ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симплектическая геометрия Кокасательные расслоения Гамильтоновы векторные поля и потоки Скобки Пуассона Интегрируемые системы Контактные системы из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " С другой стороны, для гладкой динамической системы на многообразии М имеется по крайней мере одно естественное определение существенной меры. А именно, гладкая структура определяет класс мер, который инвариантен относительно диффеоморфизмов и многих других дифференцируемых отображений. Равным образом, имеется совокупность множеств меры нуль, которые инвариантны относительно таких отображений. Это просто совокупность таких множеств А, что для любой гладкой локальной карты Ц р) множество ip U ПЛ)СК имеет нулевую меру Лебега. [c.193] Определение 5.1.1. Мера п на дифференцируемом многообразии называется абсолютно непрерывной, если в любой гладкой локальной карте она получается интегрированием плотности. Такая мера называется положительной, если плотность почти всюду положительна в любой карте. Она называется гладкой положительной, если плотность — гладкая положительная функция. [c.193] Все положительные меры эквивалентны, т. е. они имеют одну и ту же совокупность множеств меры нуль. Любая абсолютно непрерывная мера абсолютно непрерывна относительно любой положительной меры. Класс положительных мер инвариантен относительно диффеоморфизмов, а также относительно сюръективных дифференцируемых невырожденных отображений, т. е. отображений, якобиан которых (определитель матрицы частных производных в локальных координатах) обращается в нуль только на множестве меры нуль. [c.193] Если обсуждаемое многообразие ориентируемо, то эти классы мер могут быть определены с помощью дифференциальных тг-форм. В частности, любая гладкая положительная мера получается интегрированием гладкой невырожденной п-формы, и наоборот. На неориентируемом многообразии М нет никаких невырожденных гг-форм. Имеется два способа использовать язык бесконечно малых в этом случае. Во-первых, можно рассмотреть ориентируемое двулистное накрытие тг Мд— М с инволюцией I, которая коммутирует с тг, и такие невырожденные п-формы w на Mg, что = —w. В качестве альтернативы можно ввести понятие нечетной гг-формы, которая представляет собой такую функцию на п-й степени касательного расслоения ТМ, что линейная замена координат с матрицей А умножает значение формы на I det Л . (Более детальные определения см. в упражнениях 5.1.1-5.1,3.) Нечетная п-форма называется невырожденной, если она отлична от нуля на базисе. [c.193] Предложение 5.1.2. Если (л — эргодическая Т-инвариантная вероятностная мера, то Т не имеет никаких других инвариантных вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно Ц. [c.194] В этом параграфе мы разработаем аппарат, необходимый для исследования этого вопроса, а также сформулируем некоторые условия, необходимые для существования таких мер, и приведем один нетривиальный пример. Мы ограничим наше обсуждение случаем ориентируемых многообразий и сохраняющих ориентацию отображений и оставим неориентируемый случай в качестве упражнения. [c.194] Предложение 5.1.3. Пусть ii = ж, Л. .. Л dx — стандартная форма объема на К . Если отображение / —диффеоморфизм, то / П = = (detDf)n. [c.194] Это позволяет нам определить якобиан. [c.194] Определение 5.1.4. Пусть М — многообразие, С1 — форма объема и отображение М М дифференцируемо (не обязательно диффеоморфизм). Тогда якобианом 1/ отображения / относительно О. называется единственная такая функция на М, что Jf l = f Q,, т. е. [c.195] Инвариантность формы объема П, таким образом, задается требованием / П = П, т. е. 7/= 1. [c.195] мы доказали следующее предложение. [c.195] Если плотность р не обращается в нуль, то последнее равенство может может быть переписано в виде 7/ = р/(ро/). При итерировании этого условия вдоль периодической орбиты мы получаем следующий результат. [c.195] Предложение 5.1.6. Пусть М—гладкое многообразие, С1—форма объема и / М М — диффеоморфизм с абсолютно непрерывной /-инвариантной мерой с плотностью р М —которая всюду определена и положительна. Тогда J/ (x) = 1 для каждого х е Р1х(/ ). [c.195] Предложение 5.1.5 естественным образом приводит к следующему определению. [c.195] таким образом, установили, что инвариантные плотности являются неподвижными точками оператора Перрона — Фробениуса. [c.195] Предложение 5.1.9. Пусть М — многообразие с формой объема П, р —поток и V,—ф . Тогда divv = 0 тогда и только тогда, когда р сохраняет форму ii. [c.196] Это утверждение верно, в сущности, по определению. Покажем, что для K определение дивергенции совпадает с известным определением с помощью частных производных. [c.196] Предложение 5.1.10. Пусть 1 = dxi/. ../ dx — стандартная форма объема на R . Если v — векторное поле на К , то =divг П. [c.196] Установим теперь взаимосвязь между инвариантными объемами для потока и инвариантными объемами для отображения возвращения на некоторое сечение для этого потока (см. 3 введения). Эта взаимосвязь представляет собой локальное утверждение, так что для наших целей достаточно рассматривать локальное сечение. Таким образом, мы получим инвариантнук форму объема ш, называемую также потоком через сечение, с помощьк локальной конструкции, использующей форму объема П на многообразии. [c.196] Вернуться к основной статье