ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вращения н сдвиги Растягивающие отображения Бернуллиевскне и марковские иеры Гиперболические автоморфизмы тора Вариационный принцип из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Из первого утверждения предложения 4.3.3 и п. 3.2 г мы получаем такое следствие. [c.184] Поскольку supp = Лд, предложение 4.2.15 позволяет заключить, что топологическая цепь Маркова сгд — перемешивание относительно меры = Эта мера называется мерой Перри для топологической цепи Маркова (Тд. [c.185] Таким образом, мы доказали следующее предложение. [c.185] Предл ожение 4.4.2. Энтропия транзитивной топологической цепи Маркова сг относительно меры где матрица П = 7Г з .з = 1.)у имеет вид (4.4.5), равна топологической энтропии сгд и, следовательно, скорости роста числа периодических орбит р(а ). [c.185] Подчеркнем, что данное свойство меры аналогично свойствам меры Лебега для линейного растягивающего отображения и однородной меры Бернулли для полного сдвига (см. следствие 4.4.1). В следующем параграфе мы увидим, что на этих мерах энтропия достигает максимального возможного значения на множестве всех инвариантных мер данного преобразования. Следствие 20.1.5 показывает, что — единственная мера с максимальной энтропией. [c.186] Мы используем элементарный вариант общего метода, который позволяет получать верхние оценки энтропий гладких динамических систем относительно инвариантной меры. Чтобы увидеть, как этот метод работает в общем случае, см. 2 добавления. [c.187] Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187] Топологическая энтропия, которую мы ввели в 3.1, на самом деле была определена позже метрической энтропии. Метрическая энтропия представляет собой количественную меру сложности динамической системы относительно данной инвариантной меры. Топологическая энтропия была определена в результате извлечения из той же самой концепции некоторого инварианта топологической динамики. Хотя между определениями этих понятии имеется определенное сходство, отсутствие естественного размера множеств в топологической динамике приводит к появлению ряда различий между ними. В частности, метрическая энтропия объединения двух инвариантных множеств согласно предложению 4.3.16 равна сумме энтропий инвариантных множеств, домноженных на их меры, в то время как для топологической энтропии энтропия объединения равна максимуму энтропий компонент по второму утверждению предложения 3.1.7. Таким образом, топологическая энтропия измеряет максимальную динамическую сложность, тогда как метрическая энтропия отражает среднюю сложность системы. Следовательно, можно ожидать, что метрическая энтропия никогда не превосходит топологической. Кроме того, меры, присваивающие большие веса областям более высокой сложности, должны иметь метрическую энтропию, близкую к топологической энтропии. Это на самом деле так, т. е. топологическая энтропия — точная верхняя грань метрических энтропий. [c.188] Лемма 4.5.1. Пусть X — компактное метрическое пространство, М Ш1. [c.189] Доказательство. 1. Первое утверждение следует из того, что и дВ х, 5 ) — несчетное дизъюнктное объединение с конечной мерой. [c.189] Опишем теперь метод построения мер с большой энтропией, который мы будем использовать несколько раз. Обозначим через 6 вероятностную меру с носителем в х , и пусть / ц А) = fj,(f (A)) для всякой борелевской меры , измеримого преобразования f и борелевского множества А. [c.189] Теорема 4.5.3 (вариационный принцип). Если f X— X— гомеоморфизм компактного метрического пространства (X, d), то, h opif) — = 5ир ЯД/) м Ш1(/) . [c.190] Теорема 4.5.4. Разделяющие отображения компактных метрических пространств обладают мерой с максимальной энтропией. [c.191] Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191] Вернуться к основной статье