ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование поворота Преобразования типа поворота Растягивающие отображения Переме шиааиие Гиперболические автоморфизмы тора Символические системы Метрическая энтропия из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Мы начнем эту главу с демонстрации того, как различные свойства возвращения, такие как рекуррентность орбиты (определение 3.3.2), топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2), могут быть уточнены в количественном отношении посредством вычисления асимптотических частот, с которыми возникают соответствующие типы возвращения. Чтобы показать, что для некоторых орбит такие асимптотические частоты существуют, мы должны обратиться к теории меры. Позже будет установлено, что топологическая энтропия, будучи уже по определению количественным инвариантом, также обладает статистическим аналогом, с которым она тесно связана. [c.143] На эти вопросы отвечает комбинация двух фундаментальных теорем, одна из которых принадлежит топологической динамике, а другая — эргодической теории. [c.145] Теорема 4.1.1 (теорема Крылова — Боголюбова) [ ]. Любое непрерывное преобразование метризуемого компактного пространства обладает инвариантной борелевской вероятностной мерой. [c.145] Доказательство. Пусть дано преобразование / X X и хе X. Выберем счетное плотное подмножество ... пространства С(Х). [c.145] Замечание. Если / — гомеоморфизм, Ц — /-инвариантная мера и множество Ас.Х измеримо, то f A)) = ц(А). [c.145] Боголюбова означает, что каждое непрерывное отображение метризуемо го компактного пространства может рассматриваться как сохраняющее ме ру преобразование пространства Лебега, порожденное борелевской меро на X. [c.146] Предложение 4.1.3. —lpj.(x) почти всюду. [c.147] Объединяя это следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2 с теоремой Крылова — Боголюбова 4.1.1, мы получаем положительный ответ на вопрос А из п. 4.1 а р]. [c.147] Определение 4.1.6. /-инвариантнаямерац называется эргодичной относительно / если для любого измеримого /-инвариантного множества А с X либо JLl(A)=0, либо JLl(X А) — 0. [c.148] Иногда говорят, что преобразование / эргодично относительно уи, имея в виду то же самое свойство. [c.148] Определение 4.1.7. Непрерывное отображение / X — X метризуемого компактного пространства X называется строго эргодичным, если для него существует только одна инвариантная борелевская вероятностная мера. [c.148] Предложение 4.1.8. Единственная инвариантная вероятностная мера ц строго эргодического отображения / эргодична. [c.148] Эргодичность может быть переформулирована на функциональном языке следующим образом. Сохраняющее меру р, отображение / X —+ X эргодично, если всякая измеримая вещественная /-инвариантная функция постоянна вне некоторого множества нулевой меры. [c.148] Теперь мы получим важное следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2, которое утверждает, что для эргодического преобразования временные средние равны пространственным средним почти всюду. [c.148] Таким образом, мы ответили на вопрос Б из п. 4.1 а. Инвариантная мера определяет асимптотическое распределение /л-почти всякой точки, если соответствующее преобразование эргодично. Подчеркнем, что неэргодическая инвариантная мера р может также определять асимптотическое распределение некоторой орбиты, но такие орбиты всегда образуют множество, мера р которого равна нулю (см. упражнение 4.1.3). [c.148] Для отображения / X - Х обозначим через Ш /) множество всех /-инвариантных борелевских вероятностных мер. Множество Ш1(/) выпукло, замкнуто и, следовательно, является компактным подмножеством 9Л (см. определение П 2.8). [c.149] Таким образом, крайние точки множества ЗЛ(/) — эргодические меры. Мы уже использовали понятие крайней точки в доказательстве теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 в конечномерном случае. Множество 9Л(/) в общем случае бесконечномерно. Докажем теперь существование крайних точек. [c.149] Теорема 4.1.11. Каждое непрерывное преобразование / метризуемого компактного пространства X обладает эргодической инвариантной борелевской вероятностной мерой. [c.149] Доказательство. Пусть , — плотное множество непрерывных функций. Рассмотрим вложенную последовательность множеств ЗЛоЭ...ЭЗЛ Э---, Ш1о =ЗН(/). [c.149] Лемма 4.1.10 и теорема Шоке П 2.10 вместе дают следующий более силь ный результат о разложении на эргодические компоненты. [c.150] Вернуться к основной статье