ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изоиетрия Градиентные потоки Растягивающие отображения Сдвиги и топологические цепи Маркова Гиперболические автоморфизмы тора Конечность энтропии липшициевых отображений Разделяющие отображения Свойства возвращения из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Подчеркнем, что конструкция модулей, связанных с произвольными периодическими орбитами, введенная в 2.1, не работает для топологической сопряженности. Кроме того, скоро мы увидим (в 2.4 и 2.6), что структура орбит дифференцируемого отображения в целом может быть устойчивой в топологическом смысле. Эта возможность отражается следующим определением. [c.81] Определение 2.3.3. С-отображение / называется С -структур-но устойчивым (1 тп г), если существует такая окрестность II отображения / в С -топологии, что каждое отображение д и топологически сопряжено с /. [c.81] Следующая несколько более сильная версия понятия структурной устойчивости естественна и практична одновременно. [c.81] Определение 2.3.4. С-отображение называется С -сильно структурно устойчивым, если оно структурно устойчиво и, кроме того, для любого отображения д 11 можно выбрать сопрягающий гомеоморфизм к = к таким способом, что и к , и к равномерно сходятся к тождественному отображению при приближении д к / в С -топологии. [c.81] Важно отметить, что таким образом мы определяем топологическую сопряженность дифференцируемых отображений. Попытки заменить топологическую сопряженность гладкой эквивалентностью, так же как и попытки допустить в качестве возмущений произвольные непрерывные отображения или даже тоизвольными гомеоморфизмы, приводят к бессодержательным понятиям. Первое из этих утверждений подтверждается материалом 2.1. Второе вытекает из того наблюдения, что топологическая структура любого отображения может быть усложнена произвольно малым С°-возмущением. Например, любая изолированная периодическая точка может быть раздута в несчетное множество таких точек. Однако имеется понятие топологической устойчивости, которое является содержательным и в некотором отношении дополнительным к понятию структурной устойчивости. [c.81] Определение 2.3.5. С-диффеоморфизм называется топологически устойчивым, если он является фактором любого гомеоморфизма, достаточно близкого к нему в равномерной С°-топологии. [c.81] Это определение остается нетривиальным для локальных диффеоморфизмов (т. е. накрытий), но не для произвольных дифференцируемых отображений. [c.81] Как и прежде, существует два способа перенести понятие структурной устойчивости на случай потоков. Мы не будем формулировать первый, непосредственный способ, опирающийся на эквивалентность всех возмущений. Не будучи полностью вырожденным, это требование редко выполняется например, при наличии периодических орбит их периоды являются модулями в таком смысле. Мы зарезервируем термин структурная устойчивость для второй возможности, которая встречается гораздо чаще. [c.82] Определение 2.3,6. С -поток р называется 0 -структурно устойчивым (1 тп г) (соответственно С -сильно структурно устойчивым), если любой поток, достаточно близкий к р в С -топологии, С -траекторно эквивалентен ему (соответственно, если, кроме того, обсуждаемый гомеоморфизм может быть выбран достаточно близким к тождественному для малых возмущений). [c.82] Понятия фактора и топологической устойчивости изменяются соответственно. [c.82] Определение 2.3.7. Поток ф N — N называется орбитальньш фактором потока 1р М М, если существует сюръективное непрерывное отображение к МН, которое переводит орбиты (/з в орбиты ф . С-поток 1р называется топологически устойчивым, если он является орбитальным фактором любого непрерывного потока, достаточно близким к нему в равномерной топологии. [c.82] Конечно, во всех определениях этого параграфа компактность соответствующих фазовых пространств несущественна. Кроме того, можно естественным образом модифицировать эти определения для случаев, когда для некоторых точек динамическая система определена только на конечном отрезке времени, как это имеет место, например, в окрестности гиперболической неподвижной точки линейного отображения. Такое обобщение ведет к понятиям локальной и полулокальной (в окрестности инвариантного множества) структурной устойчивости подобно 4 введения. [c.82] Исследуем некоторые из примеров, рассмотренных ранее, на наличие структурной устойчивости и соответствующих локальных вариантов этого свойства. [c.82] Для произвольного сжимающего отображения фазовое пространство может не иметь гладкой структуры, так что наши понятия прямо не применимы. Однако сжимающее отображение, определенное в маленьком диске в евклидовом пространстве, структурно устойчиво, так же как и гиперболическое линейное отображение в окрестности неподвижной точки. В одномерном случае это следует из упражнения 2.1.1, а в общей ситуации это будет установлено в п. 6.3 б. Обратим внимание также на то, что предложение 2.1.7 и упражнение 2.3.3 дают примеры структурной устойчивости, имеющей место глобально для отображений с очень простыми свойствами возвращения, подобных рассматривавшихся в п. 1.1 в. [c.82] Из трех градиентных потоков, обсуждавшихся в 1.6, второй (на вертикальном торе), очевидно, структурно неустойчив. Это следует из того факта, что число орбит, а- или а -предельные множества которых являются седлами, изменяется, когда тор наклоняют. Эти числа являются инвариантами топологической орбитальной эквивалентности. Другие два потока (на круглой сфере и наклоненном торе) являются С-сильно структурно устойчивыми. Для первого из них имеет место устойчивость даже в более сильном смысле (см. упражнение 2.3.4). Во всяком случае, глобальные структуры орбит этих потоков достаточно просты, и наличие структурной устойчивости не кажется удивительным. [c.83] По-настоящему интересные и, возможно, несколько неожиданные примеры— растягивающие отображения из 1.7 и гиперболические автоморфизмы тора из 1.8. Эти отображения имеют сложную структуру орбит (см. предложения 1.7.2, 1.7.3, 1.8.1 и 1.8.4), и сохранение такой структуры при возмущениях, несомненно, показательно. В следующем параграфе мы перейдем к исследованию устойчивости этих примеров, а также некоторых взаимоотношений между ними и символическими системами. На самом деле мы сделаем даже больше, чем просто установим структурную устойчивость отображений Е -. мы покажем, что степень дает полную топологическую классификацию большого класса отображений, который включает С -возмущения Е . [c.83] Здесь мы перешли к аддитивной системе обозначений. Так как с1е1 Ь 1, то отображение не обратимо. Эта конструкция, очевидно, обобщается на случай произвольной размерности. Пример растягивающего отображения на дифференцируемом многообразии, отличном от тора, приводится в 17.3. [c.84] На компактном многообразии это условие является достаточным. [c.84] Вернуться к основной статье