ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эквивалентность и модули Локальная аналитическая линеаризация Различные типы модулей Гладкая сопряженность и замена времени для потоков из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Начнем наше обсуждение со случая дискретного времени. [c.70] Другими словами, наличие С -эквивалентности означает, что / совпадает с д с точностью до некоторой С -замены координат. Это отношение, несомненно, выглядит, как вполне естественное отношение эквивалентности для дифференциальной динамики, как с общей структурной точки зрения, так и в свете возможных приложений. [c.70] Наличие близости к тождественному отображению особенно важно для систем с непрерывным временем. Мы обсудим соответствующие примеры в следующем параграфе. Сейчас же покажем, что, по крайней мере во многих интересных примерах с нетривиальным возвращением, подобных тем, что были описанны в 1.7 и 1.8, имеется большое количество С-модулей. [c.71] Принимая во внимание предложение 1.1.4, легко видеть, что всякая периодическая точка р отображения /, спектр которой не содержит единицы, определяет некоторые С -модули. Если мы предположим для простоты, что собственные значения Df просты, то сами эти собственные значения могут служить модулями. Так как такие периодические орбиты отделены друг от друга, их спектры могут быть возмущены независимо, по крайней мере для любой конечной совокупности точек. Таким образом, модули, полученные из различных периодических орбит, в определенном смысле независимы. [c.71] Предложение 2.1.3. Пусть I = [-S, S], f I- I—вещественно аналитическое сжимающее отображение, /(0) = 0 иОфр, = / (0). Тогда существуют отрезок 7, С I, содержащий О, и вещественно аналитический диффеоморфизм h J, С R, сохраняющий начало координат и сопрягающий / с линейным отображением х р,х. [c.71] Существуют также варианты предложения 2.1.3 для и С-отображений. С -вариант содержится в теореме 6.6.6 как частный случай. [c.71] Доказательство. Мы покажем, как построить разложение сопрягающего диффеоморфизма в ряд Тейлора в начале координат, и затем установим, что получающийся степенной ряд сходится в некоторой окрестности нуля. [c.71] Мы закончим доказательство, показав индуктивно, что существует такое число ё О, что й для всех п. [c.72] Представленное выше доказательство дает очень простой пример применения метода мажорант, который широко используется при решении многих локальных и полулокальных проблем, связанных с исследованием сопряженности динамических систем. [c.73] Предложение 2.1.3 — частный случай теоремы 2.8.2. (Хотя в теореме 2.8.2 рассматриваются преобразования комплексной плоскости, из ее доказательства легко видеть, что если отображение / имеет вещественные коэффициенты, то и коэффициенты сопрягающего отображения к тоже вещественны.) Доказательство теоремы 2.8.2 служит иллюстрацией применения метода быстро сходящихся итераций, иногда называемого методом Ньютона. Этот метод, описанный в весьма общей форме в 2.7, является одним из наиболее мощных и полезных инструментов в теории гладких динамических систем, особенно для решения проблем, связанных с установлением гладкой эквивалентности. Важность метода Ньютона объясняется тем фактом, что он применим и в ситуациях, когда, в отличие от нашего случая, гиперболичность отсутствует. [c.73] Разнообразные модули дают существенную, хотя и не полную информацию о гладкой эквивалентности в окрестности вращения i . Число вращения (см. определение 11.1.2) является С -модулем, и для некоторых иррациональных а его значения определяют класс гладкой эквивалентности (см. теорему 12.3.1). [c.73] С другой стороны, во многих ситуациях множество всех классов С-экви-валентности для г 1 слишком велико и не имеет никакой разумной структуры. Случай г =0, т. е. случай топологической эквивалентности гладких динамических систем, является принципиально иным и будет обсуждаться в 2.3. [c.73] Таким образом, точки х=0 и х = 1 являются притягивающими неподвижными точками для отрицательных и положительных итераций отображения р соответственно, т. е. любая внутренняя точка стремится к О и к 1 для отрицательных и положительных итераций соответственно (см. предложение 1.1.6). [c.74] Прежде всего мы покажем, что такое отображение естественным образом задает две гладкие аффинные структуры на интервале (0,1). [c.74] Лемма 2.1.4. Любое С -отображение, определенное в окрестности нуля на действительной оси и коммутируюи ее с линейным сжатием Л X Ах, А 1, линейно. [c.74] Замечание. Наличие дифференцируемости в условии леммы существенно. Например, имеется много нелинейных липшицевых отображений, коммутирующих с Л. [c.74] Следствие 2.1.5. Пусть и — два сопрягаюш,их диффеоморфизма, удовлетворяющих условию предложения 2.1.3. Тогда существует такое вещественное число н, что /12(х) =/1,(/14х). [c.74] Следствие 2.1.6. Пусть ф — малое аналитическое возмуш,ение отображения р. Тогда отображения р и ip аналитически сопряжены в том и только том случае, если они С -сопряжены, или выполнены следующие условия р (Р) = р (0), ip ( ) = p ( ) и отображения перехода для (риф эквивалентны. [c.75] Вернуться к основной статье