ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространства последовательностей Преобразование сдвига Топологические цели Маркова Оператор Перрона — Фробениуса для положительных матриц Эквивалентность, классификация и внварианты из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Мы можем определить топологию на 0,/ , заметив, что (2 является прямым произведением г копий конечного множества 0,1. ЛГ-1 , каждая из которых имеет дискретную топологию, и затем задав на топологию произведения (так называемая тихоновская топология). [c.61] Заметим, что если мы рассматриваем конечное множество 0,1. [c.61] Альтернативный способ определить топологию в пространстве (и соответственно в (2 ) состоит в том, чтобы объявить все цилиндры базой топологии этого пространства. Тогда каждый цилиндр является одновременно открытым и замкнутым множеством, потому что дополнение к цилиндру представляет собой конечное объединение цилиндров, а произвольное открытое множество представляет собой объединение счетного числа цилиндров. [c.61] Эта метрика особенно удобна в случае большого А, скажем, когда А = = ЮЛГ, потому что в ней всякий симметричный цилиндр С ранга 2п+ + 1 является шаром. Так как 0, является совершенным вполне несвязным компактным пространством, оно гомеоморфно канторову множеству. [c.61] Предложение 1.9.1. Периодические точки сдвигов иа плотны в uQ соответственно (o jv) = Р (о ) =отображения (Xf и а- являются топологически перемешивающими преобразованиями. [c.62] Замечание. Отображение тг Щ- К, тг(и , w.) = 0, /3(wo)/3(w,)... где К —стандартное канторово множество, /3(0)= О, /3(1) = 2, является гомеоморфизмом, и, очевидно, -п о = Е о тт. Таким образом, предложение 1.7.3 влечет топологическую транзитивность сдвига Это простейший пример ситуации, когда ограничение гладкой системы на инвариантное множество выглядит как некоторый сдвиг. Соответственно отображение h, описанное в доказательстве предложения 1.7.3, является самым простым примером кодирования. Мы подробно обсудим эту тему в 2.4 и 2.5. [c.63] Определение 1.9.2. Ограничение сдвигов или а- на любое замкнутое инвариантное подмножество соответствующего сдвига называется символической динамической системой. [c.63] Свойства символических динамических систем могут быть весьма разнообразными. Эти системы представляют собой богатый источник примеров и контрпримеров для топологической динамики и эргодической теории. [c.63] Другими словами, матрица А определяет все допустимые переходы между символами О, 1. ЛГ - 1. Множество очевидно, является инвариантным относительно сдвига. [c.63] Следующая простая комбинаторная лемма — ключ к анализу топологических цепей Маркова. [c.64] Лемма 1.9.4. Для любых ц j е 0,1,..— 1 количество ЛГ допустимых путей длины т- -, которые начинаются в х,. и кончаются в Ху, равно элементу матрицы А . [c.64] Каждый допустимый замкнутый путь длины т +1 с отмеченным началом, т. е. путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине Сд, соответствует в точности одной периодической точке Тд периода т. Отсюда получаем такое следствие. [c.64] Топологические цепи Маркова могут быть расклассифицированы в соответствии со свойствами возвращаемости их орбит. Существенные элементы этой классификации содержатся в упражнениях 1.9.4-1.9.9. Теперь мы займемся наиболее интересным специальным классом топологических цепей Маркова, которые обладают самыми сильными свойствами возвращаемости. [c.64] Определение 1.9.6. О, 1-матрица А называется транзитивной, если для некоторого положительного т все элементы матрицы А — положительные числа. Мы будем называть топологическую цепь Маркова транзитивной, если А —транзитивная матрица. [c.64] Лемма 1.9.7. Если все элементы матрицы А положительны, то для любого п т все элементы Л также положительны. [c.65] Лемма 1.9.8. Если матрица А транзитивна и последовательность а = (а 4,..а. ) допустима, т. е. = 1, г = -к,., .,к -I, то пересечение (2 П С = непусто и содержит периодическую точку. [c.65] Предложение 1.9.9. Если А — транзитивная матрица, то топологическая цепь Маркова является топологическим перемешиванием и ее периодические орбиты плотны в 12 . [c.65] Имеется естественный класс более общих символических систем чем цепи Маркова. [c.65] Оказывается, что для транзитивной матрицы А существует очень точная асимптотика последнего выражения. Это заключение базируется на следующем результате о положительных матрицах, который мы воспроизводим здесь для полноты картины, имея в виду также и последующие применения. [c.65] Вернуться к основной статье