ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные потоки на торах и вполне интегрируемые системы из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Рассмотрим геометрическое представление этого потока. Как мы уже упоминали, тор T =K /Z может рассматриваться как единичный квадрат Р = (Х , 2) )1 О ж, котором пары противоположных сторон отождествлены (ж, 0) (ж, 1) и (О, ж) (1, ж). В этом представлении интегральные кривые, задаваемые системой уравнений (1.5.1), —это отрезки прямых, угловой коэффициент которых равен 7 = Wj/o),. Движение вдоль соответствующих орбит происходит с постоянной скоростью вплоть до мгновенного скачка к соответствующим точкам, когда орбита достигает границы квадрата (сравните с конструкцией надстройки, описанной в 3 введения). Рассмотрим последовательные моменты, когда орбита пересекает окружность С = ж, =0 . Координата изменяется между двумя такими моментами в точности на 7 (mod 1). Таким образом, по предложению 1.3.3, если 7 иррационально, замыкание каждой орбиты содержит окружность С,, и, следовательно, образы этой окружности под действием потока TJ покрывают весь тор этот поток минимален в смысле аналога определения 1.3.2 для систем с непрерывным временем, т. е. каждая орбита плотна в Т . Если же 7 рационально, то, как немедленно следует из (1.5.2), каждая орбита замкнута. [c.47] Очевидно, что поток Г минимален, если для некоторого t, преобразование минимально. Это замечание вместе с предложением 1.4.1 позволяет нам установить критерий минимальности в этом случае. [c.47] Поступая точно так же, как в конце 4, мы можем разбить на инвариантные торы, на каждом из которых поток (1.5.4) действует сдвигами. [c.48] Мы вернемся к рассмотрению вполне интегрируемых гамильтоновых систем в п. 5.5 в. В частности, теорема Лиувилля — Арнольда 5.5.21 демонстрирует естественность данного выше определения полной интегрируемости. [c.49] Докажите, что если ш иррационально, то для любых начальных фаз ф множество 2/(i)) ( R плотно в прямоугольнике х А, i/ В. [c.49] Вернуться к основной статье