ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сжимающие отображения Устойчивость сжимающих отображений Обратимые отображения интервала Линейные отображения из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Предложение 1.1.2 (принцип сжатых отображений). Рассмотрим полное метрическое пространство X. Под действием итераций сжимающего отображения f X— X все точки пространства стремятся с экспоненциальной скоростью к единственной неподвижной точке /. [c.32] Определение 1.1.3. Если X — топологическое пространство, / — отображение, f X— X, f(p) = p и f x)- p при п— оо, то мы говорим, что положительные итерации х сходятся к р. Если / обратимо и / (ж)— -р при п- оо, то мы говорим, что отрицательные итерации х сходятся к р. [c.32] Обозначим через Fix(/) множество неподвижных точек отображения /. [c.32] Таким образом, для сжимающего отображения все точки стремятся к единственной неподвижной точке. Этот результат будет часто использоваться в ходе нашего анализа динамических систем с более сложным поведением. Обычно мы будем применять его не к самой динамической системе в фазовом пространстве, а к некоторому отображению в функциональном пространстве, связанному с этой динамической системой. В первую очередь проиллюстрируем применение принципа сжатых отображений к теории динамических систем, в ситуации, где этот принцип применяется к некоторой вспомогательной системе в том же самом пространстве. [c.32] Предложение 1.1.4. Если р — периодическая точка периода тп для -отображения / и единица не является собственным значением, дифференциала Df , то для каждого отображения д, достаточно близкого к f в С -топологии, существует единственная периодическая точка периода тп, близкая к р. [c.32] Мы проиллюстрируем понятие сжимающего отображения с помощью следующего элементарного примера. Рассмотрим множество действительных чисел как метрическое пространство с евклидовой метрикой. Предположим, что / R-+E — непрерывно дифференцируемая функция, производная которой ограничена по абсолютной величине некоторым числом А 1. Если ж, I/ R, то по теореме о среднем значении существует такое число С между хну, что f x) — f y) = f ) x — y). Таким образом, /(а ) —/(i/) = / ( ) а -1/ А х-у и/ — сжимающее отображение согласно определению 1.1.1. В частности, любое такое отображение имеет единственную неподвижную точку. Упражнение 1.1.2 содержит обобщение этого примера. [c.33] Следующий параграф содержит несколько дополнительных примеров сжимающих отображений. [c.33] Предложение 1.1.6. Если / с R — замкнутый интервал и / 1— 1 — неубывающее непрерывное отображение, то итерации любой точки хе I стремятся к некоторой неподвижной точке /. Если f — возрастающее (следовательно, обратимое) отображение, то положительные и отрицательные итерации любой точки же J Fix(/) стремятся к соседним неподвижным точкам. [c.34] В упражнениях 1.1.1 и 1.1.2 исследуется эффект замены условия равномерного сжатия (1.1.1) более слабыми условиями. Как и выше, мы предполагаем, что X —полное метрическое пространство и f X X — некоторое отображение X в себя. [c.34] В этом параграфе рассматриваются динамические системы, определенные итерациями линейного отображения евклидова пространства R . [c.35] Определение 1.2.1. Пусть А R — R — некоторое линейное отображение. Множество собственных значений отображения А называется спектром А и обозначается sp А. Наибольшее абсолютное значение собственного значения А обозначается через г А) и называется спектральным радиусом А. [c.35] Предложение 1.2.2. Для любого 5 0 существует такая норма на R , что ЩЦ г(А)+ 6. [c.35] Мы начинаем анализ асимптотического поведения линейных отображений с важного частного случая. [c.36] Следствие 1.2.3. Предположим, что все собственные значения линейного отображения А имеют абсолютное значение, меньшее единицы. Тогда существует такая норма в К , что А является сжимающим отображением в метрике, порожденной этой нормой. [c.36] Понятие экспоненциальной сходимости не зависит от выбора нормы. Таким образом, из предложения 1.1.2 и следствия 1.2.3 немедленно вытекает такое следствие. [c.36] Следствие 1.2.4. Если все собственные значения линейного отображения А К —, к имеют абсолютные значения, меньшие единицы, то положительные итерации каждой точки сходятся к нулю с экспоненциальной скоростью. Если, кроме того, А — обратимое отображение, т. е. если нуль не является собственным значением для А, то отрицательные итерации каждой точки стремятся к бесконечности с экспоненциальной скоростью. [c.36] Теперь перейдем к рассмотрению более общего случая, который будет играть важную роль в нашем последующем анализе нелинейных динамических систем. [c.38] Определение 1.2.5. Линейное отображение R называется гиперболическим, если абсолютные величины всех его собственных значений отличны от единицы. [c.38] Пространства В , Я , очевидно, инвариантны относительно отображения А. При этом К = Я- Я+ Я . [c.39] Дадим эквивалентное определение гиперболического отображения А гиперболично, если Я = 0 или, что то же самое, если К = Я+ Я . [c.39] Вернуться к основной статье