ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предисловие к русскому изданию из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Выход в свет перевода нашей книги на русский язык доставляет нам огромное удовлетворение. Современная теория динамических систем в том виде, как она представлена в этой книге, имеет несколько основных источников, и среди них вклад русской школы, в особенности в период с начала пятидесятых до середины семидесятых годов, занимает выдающееся место. В начале этого периода А. Н. Колмогоров выдвинул программу изучения классических динамических систем с использованием методов современного анализа и теории вероятностей. Эта программа, а также первые результаты ее реализации коротко, но весьма убедительно изложены в пленарном докладе Колмогорова на Международном Математическом Конгрессе 1954 года в Амстердаме. Вклад самого Колмогорова в развитие теории динамических систем трудно переоценить теория возмущений вполне интегрируемых гамильтоновых систем и введение энтропии являются, пожалуй, самыми важными достижениями, относящимися соответственно к устойчивому и хаотическому поведению в динамике. [c.10] Идеи Колмогорова, изложенные в курсах лекций, докладах на семинарах и неформальных обсуждениях в течение 50-х и начала 60-х годов, оказали огромное влияние на многих блестящих математиков, которые в этот период были студентами и аспирантами. Работы этих математиков, в первую очередь В. М. Алексеева, Д. В. Аносова, В. И. Арнольда и Я. Г. Синая, сыграли центральную роль в бурном развитии теории динамических систем в течение 60-х и 70-х годов. Наш взгляд на эту область, ее взаимоотношения с другими разделами математики и прикладными дисциплинами обязан Московской школе этого периода в больший степени, чем всем другим влияниям. [c.10] Появление этого перевода было бы невозможно без участия и разнообразной помощи со стороны многочисленных лнц и организаций, которым мы глубоко благодарны. Постараемся перечислить тех, кто внес наиболее существенный вклад в осуществление этого проекта. [c.10] Перевод на русский язык был выполнен Алексеем Кононенко и Сергеем Ферлегером, когда они оба были аспирантами в Университете Штата Пенсильвания. Перевод был выполнен в весьма сжатые сроки, и переводчики проявили большую самоотверженность. [c.10] Российский Фонд фундаментальных Исследований оказал финансовую поддержку русского издания книги. Без гранта РФФИ издание, конечно, было бы невозможно. [c.11] Кушниренко сыграл важную роль в организации издания книги на русском языке. Он же осуществлял общее руководство над переводом книги. В частности, благодаря ему было налажено тесное взаимодействие между авторами и издательством. [c.11] Редактор издательства О. А. Васильева провела огромную и весьма успешную работу по исправлению стиля перевода. Два других редактора А. М. Архипов и А. С. Городецкий систематически проверили весь материал и терминологию, используемую в книге. [c.11] Перевод включает все поправки и исправления, внесенные в четвертое издание на английском языке, вышедшее в 1998 году, а также изменения, подготовленные для пятого издания, которое будет напечатано в 1999 году. Среди этих изменений имеется значительное количество ошибок и опечаток, замеченных А. М. Архиповым и А. С. Городецким. Некоторые из их предложений выходят за пределы простых исправлений. Они будут использованы при подготовке переработанного издания книги, выход которого запланирован на 2000 год. [c.11] Отредактированный текст перевода был тщательно прочитан первым автором, который внес дальнейшие улучшения и исправления и одобрил окончательный вариант текста. [c.11] Теория динамических систем является фундаментальной математической дисциплиной, тесно связанной с большинством основных областей математики. Ее математической сердцевиной является изучение глобальной структуры орбит отображений и потоков, в особенности свойств, инвариантных относительно замен координат. Понятия, методы и представления теории динамических систем существенно стимулируют исследования во многих других отраслях знания, что уже привело к появлению обширной новой науки, называемой прикладной динамикой (а также нелинейной динамикой или теорией хаоса). Теория динамических систем включает несколько основных дисциплин, но мы рассматриваем в первую очередь конечномерную дифференциальную динамику. Эта теория тесно связана с рядом других дисциплин, в особенности с эргодической теорией, символической динамикой и топологической динамикой. До сих пор не существовало достаточно полного изложения дифференциальной динамики, в полной мере отражающего взаимосвязи с этими областями. Данная книга представляет собой, попытку заполнить этот пробел. Она содержит последовательное и исчерпывающее описание основ теории гладких динамических систем, а также связанных с этой теорией областей из других разделов динамики как фундаментальной математической дисциплины. В то же время исследователи, заинтересованные в приложениях, смогут найти здесь описание нужных им методов и представлений. Данная книга содержит введение и последовательное развитие центральных понятий и методов теории динамических систем и их приложения к широкому и разнообразному ряду тем. [c.12] Содержание книги. Мы начинаем с обсуждения элементарных, но вместе с тем фундаментальных примеров. Они используются, чтобы сформулировать общую программу анализа асимптотических свойств, а также ввести главные понятия (такие как дифференциальная и топологическая эквивалентности, модули, структурная устойчивость, асимптотическая скорость роста орбит, энтропия, эргодичность и т. п.) и, в упрощенной форме, многие важные методы (метод неподвижной точки, кодирование, КАМ-вари-ант метода Ньютона, локальные нормальные формы, гомотопический прием и т. п.). [c.12] Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12] Хотя большинство тем, связанных с дифференциальной динамикой, разрабатывается в этой книге достаточно глубоко, мы не пытались написать энциклопедическое исследование дифференциальной динамики. Даже если бы это было возможно, результатом такой работы явился бы просто некоторый источник ссылок, бесполезный в качестве учебника или введения в предмет. Таким образом, мы отнюдь не пытаемся представить самые сильные из известных результатов, но вместо этого предоставляем читателю хорошо структурированный набор принципов, на которых базируются методы и результаты. Далее, данная книга не является введением в прикладную динамику, и наши примеры, вообще говоря, не выбираются из множества прикладных моделей, широко изучаемых в различных дисциплинах. Напротив, они возникают естественно из внутренней структуры изучаемого предмета и содействуют его пониманию. Внимание, которое уделяется различным направлениям в той или иной области, не определяется ни долей работ, опубликованных на эту тему, ни размахом научно-исследовательской деятельности в этих направлениях, а лишь отражает наше понимание того, что именно является основным и фундаментальным в данной области. Очевидное несоответствие возникает в случае одномерной (вещественной и особенно комплексной) динамики, активность в которой постоянно росла в течение последних 15 лет, что привело к появлению множества блестящих результатов. Эта область играет сравнительно скромную роль в данной книге. Вещественная одномерная динамика используется главным образом как источник простых моделей, в которых со значительным успехом могут применяться различные методы. Комплексная динамика, которая является с нашей точки зрения увлекательным, но довольно специальным предметом, появляется лишь как источник примеров гиперболических множеств. С другой стороны, мы стараемся отмечать и подчеркивать взаимосвязь динамики с другими областями математики (теорией вероятностей, алгебраической и дифференциальной топологией, геометрией, вариационным исчислением и т. п.) даже в некоторых ситуациях, в которых на сегодняшний день окончательное понимание еще во многом не достигнуто. [c.13] Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А — В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14] За исключением глав с первой по четвертую, которые образуют фундамент всей книги, главы в левой части диаграммы относятся преимущественно к гиперболической динамике, в середине — к динамике малых размерностей, а справа — к некоторым аспектам дифференциальной динамики, связанным с топологией и классической механикой. [c.15] Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15] В некоторых случаях мы приводим важные общие сведения в тексте без доказательства. Это случается, когда определенный результат органически связан с данным параграфом книги. Хороший пример такого результата — формула Лефшеца для числа неподвижных точек отображения. [c.15] Источники. Большая часть материала, содержащегося в этой книге, не содержит неизвестных ранее результатов. Тем не менее, способ изложения материала часто оригинален и представляет собой новые или значительно модифицированные доказательства известных результатов, объяснения структуры и взаимосвязей внутри данной темы и т. д. Приблизительно шестая часть материала, относящаяся в основном к частям 3 и 4, близко следует изложению в опубликованных источниках, большинство из которых представляет собой оригинальные научные публикации. Характерный пример такого типа — изложение элементов гиперболической теории в главах 18 и 20, заимствованное из статей Р. Боуэна семидесятых годов, которое было столь ясным, что едва ли может быть улучшено. В нескольких случаев мы следуем освещению соответствующей темы в существующих книгах. За исключением некоторых базовых тем, например гамильтонова формализма или вариационного исчисления, это происходит только в части 3. Причина этого состоит в том, что существует гораздо больше учебников по динамике малых размерностей, чем по теории динамических систем в целом. Мы упоминаем все заимствования доказательств и методов представления материала, о которых нам известно, в примечаниях в конце книги. [c.15] Вернуться к основной статье