ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Квантовый хаос в газе из "Динамика и информация " Рассмотрим атомарный газ с плотностью частиц и при температуре Т. Температуру Т будем считать высокой по сравнению с температурой вырождения. Соответственно, величину Яв = Л/тщ, где т — масса атомов, г — их средняя тепловая скорость, мы будем считать значительно меньшей среднего межатомного расстояния Условимся называть Яв средней длиной волны де Бройля (она в 2я раз меньше обычной длины волны де Бройля). Газ будем считать разреженным, так что средняя длина пробега Я = 1/исг, где а — поперечное сечение рассеяния, значительно больше межатомного расстояния. В соответствии с принятыми допущениями отношение Яв/Я должно считаться малым параметром. [c.229] Как было показано выше, вся эволюция газа представляет собой квантовый хаос. Строго описать такой хаос практически невозможно, и поэтому наша задача состоит в развитии и приближенном обосновании качественной картины такого хаоса [83]. [c.229] Будем исходить из предположения, что фазы множества рассеянных волн одной частицы сбиваются хаотически движущейся средой, так что частица, как единая сущность, может попасть только в одну из рассеянных волн. Такой процесс выглядит как измерение волновой функции данной частицы, производимое самим газом. Измерения , точнее самоизмерения , осуществляют последовательные коллапсы волновых функций атомов, и соответственно, волновую функцию любого атома можно представить себе в виде некоторого компактного волнового пакета. Наша задача состоит в более подробном описании движения волновых пакетов, их рассеяния друг на друге и поддержания определенных размеров и формы волновых пакетов. [c.229] Здесь к — волновой вектор пакета, а радиус-вектор г отсчитывается от центра пакета, параметр Ь определяет начальную ширину пакета. Для простоты будем считать, что параметр Ь является действительным числом. [c.229] Как функция эта величина достигает минимума при = Нх/т. Естественно поэтому считать, что равно именно этой величине, так что Ь (ЯЯв) , если приближенно положить х к/Из последующего изложения станет более ясным, почему именно этим соотношением определяется размер пакета. [c.230] По отношению к переменной р волновая функция (242) выглядит как тонкая сферическая оболочка с радиусом ш и толщиной Л Я. За время г т радиус оболочки достигнет величины Я и ее отдельные области испытают столкновения с другими частицами. Ясно, что декогерентность, производимая такими столкновениями, разрушит тонко организованную оболочку волновой функции двух коррелированных частиц. Рассмотрим качественно, что при этом происходит. [c.232] Направим ось х вдоль направления предполагаемого повторного коллапса рассматриваемых нами частиц в системе центра масс. Удобно ввести новые переменные х = х — ш, х — Х2 + ш, и тогда зависимость ф от новых переменных выглядит как ехр[- х + 5е)/2Л ]. [c.232] После интегрирования получим выражение, пропорциональное ехр [-(Я + 2 )/(Л - Нх/т). Как мы видим, за время г = т величина аР возвращается к своему исходному значению Ь . [c.233] мы приходим к следующей модели коллапсирования. Коллапс волновой функции в пакет ехр(—г /2й ) происходит по всем трем направлениям при каждом реальном рассеянии. Реальными мы называем такое рассеяние и такой волновой пакет, в котором случайно оказывается зафиксирована частица. Все остальные возможные рассеянные волны и волновые пакеты должны просто уничтожаться, поскольку среда не может наблюдать одну и ту же частицу в состояниях с различными импульсами и энергиями одновременно. Коллапсы происходят в среднем через каждые т секунд. После очередного коллапса в нормированный на единицу волновой пакет, волновая функция пакета убывает со временем в среднем как ехр(—г/2т), а квадрат волновой функции убывает как ехр(- /т). Такой закон убывания квадрата амплитуды со временем соответствует уменьшению вероятности рассеяний, но его можно интерпретировать просто как распределение коллапсов по закону Пуансона с вероятностью рассеяния Аг/т за промежуток времени Аг. За время I т волновой пакет успевает создать множество рассеянных волн, и только одна из этих волн может породить в дальнейшем новый волновой пакет, измеряемый средой. Газ выполняет роль прибора, который измеряет передаваемые среде энергию и импульс при каждом реальном рассеянии с коллапсом волновой функции. [c.234] Как мы видим, давление отличается от давления идеального газа и Г на малую величину ий/2т. [c.236] Отсюда видно, что максимум огибающей пакета Ха движется равнозамедленно. [c.238] С помощью волновой функции (253) можно подсчитать изменение импульса и энергии вследствие зависящего от х затухания волновой функции. Соответствующий результат для энергии выглядит как Ае = —Нуо1 /2х. [c.238] Эта величина вдвое меньше значения ту Ха, которое получилось бы при жестком замедлении пакета вместе с максимумом амплитуды его огибающей. Если г т, то среднее изменение энергии имеет тот же порядок величины, что и второе слагаемое в (249). [c.238] Наличие эффекта замедления пакета показывает, что модель с неизменяющейся со временем энергией пакета является слишком упрощенной. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Учтем, что индивидуальный волновой пакет имеет неопределенность по энергии порядка Й/т и соответствующую неопределенность по импульсу. Рассмотрим баланс энергий на больших временах, т.е. в среднем по пакетам. [c.238] Удобно начать с рассмотрения пакета, который выжил время г т после своего рождения. У такого пакета Лр р Ь , так что его можно приближенно рассматривать как суперпозицию из многих волновых пакетов с размерами Ь. При столкновении с обычными пакетами с размерами Ь будет образовано много рассеянных волн, состоящих из пар скоррелированных частиц. На расстоянии Я от области рассеяния такие волны будут декогерентны, поэтому они могут испытывать независимые коллапсы. Им соответствуют коллапсы исходного широкого пакета в отдельные его фрагменты размером Ь. Если Л Ь , то соответствующие локальные коллапсы почти ортогональны, так что можно воспользоваться представлениями обычной квантовой механики об измерении . По отношению к продольной переменной х такой коллапс можно учесть дополнительным множителем ехр — х — хо) /2Ь у волновой функции, если коллапс произошел вблизи точки хо. [c.238] Естественно считать, что закон сохранения энергии с точностью, большей h/t, должен выполняться только в среднем по максвелловскому распределению с учетом малых эффектов порядка Яв/Я. [c.239] Это выражение получено при условии 2 поскольку (257) равно нулю при t = О, как и точная величина (хо), то выражением (257) можно пользоваться как разумной аппроксимацией при всех значениях г/т. [c.239] Второй член в (257) компенсирует систематическое замедление центра пакета Ха вследствие зависимости частоты столкновений от скорости, как это описывается соотношением (254). Как мы видим, малой асимметрии коллапсов порядка (хо) Яв = h/invr достаточно для сохранения энергии частиц в среднем. [c.239] В пренебрежении параметром а это выражение близко к (250). Заметим, что малые слагаемые в соотнощениях (249), (258) могут быть получены с помощью выражения (68) заменой Ь на величину порядка к. [c.240] Выраженная в терминах асимметрии коллапсов картина сложного поведения многочастичной системы позволяет достаточно просто учесть малые эффекты порядка к /к при коллапсировании волновых функций атомов газа. Как мы видим, при каждом коллапсе имеет место систематическое смещение волнового пакета на расстояние порядка Яв. Это смещение очень мало, но оно оказывается существенным для объяснения эффекта Соколова (см. раздел 41). [c.240] Вернуться к основной статье