ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближение к равновесию и коллапсы из "Динамика и информация " Многие из тех процессов, с которыми мы познакомились выше, представляют собой процессы релаксации, т.е. приближения к термодинамическому равновесию либо в системах, исходно находившихся очень далеко от равновесия, либо в системах, выведенных из равновесия другими процессами релаксации. Попытаемся обсудить их с некоторой общей точки зрения. Начнем с самого простого примера одной частицы в потенциальной яме (рис. 16). [c.185] Если поместить классическую частицу М в потенциальную яму на рис. 16а, то эта частица будет совершать периодические колебания с монотонно уменьшающейся амплитудой из-за силы трения. Энергия колебаний е постепенно передается среде, пока эта энергия не достигнет уровня тепловых колебаний, равного температуре среды Т. [c.185] Разумеется, возможны и более сложные сценарии такого перехода. Например, точку М можно было бы использовать как гирю для приведения в движение маятниковых часов, и тогда процесс диссипации энергии в тепло, т.е. исчезновения негэнтропии, сопровождался бы вращением стрелок и шестеренок часового механизма. [c.186] Вблизи донышка потенциальной ямы (рис. 1 ба) точка М совершает тепловые колебания. Эти колебания можно описывать по Ланжевену, т.е. к силе трения можно добавить случайные толчки ог внешней среды. Тогда в среднем частица будет иметь полную энергию, равную Т. [c.186] Рассмотрим теперь квантовую частицу (рис. 166). Энергия такой частицы квантуется. Например, в гармоническом потенциале энергия уровня с номером п равна е = Йо)о(1/2 + и), где соо — частота осциллятора. Начальное состояние частицы не обязательно должно соответствовать только одному уровню. Например, в случае гармонического осциллятора можно строить так называемые когерентные состояния из суперпозиции волновых функций разных уровней. Но и в более сложном случае ангармонического осциллятора можно выбрать в качестве начальной волновой функции любую суперпозицию собственных функций. Однако специфика выбора довольно быстро проявится в дальнейшей эволюции. [c.186] Дело в том, что каждому уровню номера п отвечает своя собственная частота о = /Й, где г — соответствующая собственная энергия. Поэтому частица т, чтобы передать энергию среде, должна сама поискать вовне резонансы на частотах со = со со . Если такие резонансы найдены, то даже при очень слабом взаимодействии со средой, частица М может передать энергию среде. Однако процесс релаксации начинается не с этого. Если осциллятор ангармонический, то частоты 012, 23, - - не совпадают между собой и поэтому во внешней среде они находят различные резонансы. Поэтому первое, что происходит — это сбой разности фаз между различными уровнями. Волновые функции разных уровней теряют взаимную когерентность, а это значит, что у частицы происходит коллапс волновой функции на один из уровней. Вероятность соответствующего коллапса равна квадрату амплитуды. В силу сохранения энергии аналогичный коллапс должен произойти и в той системе, которая приготовила частицу в состоянии суперпозиции нескольких уровней. Другими словами, коллапс функции данной частицы как бы переносится на систему, подготовившую частицу для последующего наблюдения. [c.186] После того, как частица сядет на определенный уровень, наступают процессы излучения квантов Йсоп, Нсогъ и т.д., т.е. частица спускается вниз по уровням. Наконец, на нижних уровнях происходит установление теплового равновесия частица то излучает, то поглощает кванты, приходя в равновесие с тепловым излучением. Этот последний процесс также сопровождается квантовыми переходами, т.е. соответствующими коллапсами то на один, то на второй и т.д. уровни. В каждый данный момент одна квантовая частица может находиться только на одном уровне, если только во внешней среде не созданы специально когерентные связи у одних квантовых состояний излучения с другими. Переходы с излучением или с испусканием квантов поля — это и есть коллапсы волновой функции. Можно сказать, что понятие коллапсов неявно возникло вместе с понятием квантов вместо термина квантовых переходов можно с тем же основанием пользоваться рассуждениями о коллапсах волновых функций. [c.187] Рассмотрим теперь несколько более сложный мысленный эксперимент. Допустим, что мы адиабатически медленно деформируем потенциал (рис. 16а) таким образом, что вместо одного минимума создаются два минимума потенциальной энергии (рис. 17а). Предположим, кроме того, что частица находится на самом нижнем энергетическом уровне. [c.187] Начнем теперь нагревать частицу, приводя ее в контакт с внешним термостатом. При этом наряду с нижними уровнями в игру вступают более высокие уровни, и частица может переходить на них с вероятностью, определяемой распределением Больцмана. Но для нас более важен другой эффект. Тепловые шумы разрушают когерентную связь между правой и левой ямами. Частица при этом может существовать только в одном из ящиков . Соответственно, в одном из ящиков волновая функция есть, а в другом ее нет. Происходит коллапс волновой функции, но пока что без коллапса вероятностей вероятность находиться частице в одном из ящиков по-прежнему равна 1/2. Ситуация здесь в точности подобна той, что мы рассматривали в самых начальных разделах книги. Мы имеем частицу в термостате, разделенном перегородкой. Можно попытаться узнать, в каком из ящиков находится частица. Для этого требуется провести соответствующее измерение, которое сопровождается необратимым процессом во внешнем мире. После измерения распределение вероятностей для частицы коллапсирует в состояние 0,1. При этом энтропия частицы убывает на один бит, а во внешнем мире должен протечь необратимый процесс с возрастанием энтропии не менее чем на один бит. Другими словами, мы имеем дело с типичным информационным процессом. [c.188] Но допустим, что мы такого измерения не проводим, а начнем снова понижать температуру до нуля. В конечном состоянии частица опять сядет на нижний уровень в одной из ям, но теперь можно точно утверждать, что один из ящиков опустошен и частица находится только в одном из ящиков. Другими словами, одно лишь слабое соприкосновение системы с внешним миром и соответствующее разрушение когерентности привело как бы к спонтанному нарушению симметрии — волновая функция частицы коллапсирует в один из ящиков. Мы можем снова попытаться измерить, в какой из ям находится частица, но соответствующее измерение уже не затрагивает волновой функции, а всего лишь коллапсирует распределение вероятностей. [c.188] А теперь вместо этого очень длинного сценария рассмотрим более простой. А именно, представим себе, что мы хотим измерить, т.е. узнать, в какой из ям (рис. 17а) находится частица вскоре после того, как такая яма была получена путем медленной деформации одиночной ямы (рис. 16а). Пусть прибор устроен таким образом, что после измерения волновая функция коллапсирует только в одну яму, т.е. из двух возможных состояний только одно остается реальным (рис. 176). Такой прибор должен разрушить когерентность исходного состояния и породить смесь симметричной и антисимметричной функций. Это значит, что он должен передать энергию частице не менее Ле/2, Но кроме того, вместе с коллапсом волновой функции (в одну из ям) прибор осуществляет коллапс вероятностей в данную конкретную яму. Это значит, что в приборе (или внешнем мире) должно произойти возрастание энтропии на величину, не меньшую одного бита, т.е. 1п 2. [c.189] Таким образом, с помощью нашего простого примера нам удалось разобраться в целом ряде вопросов. Прежде всего мы смогли отделить коллапсы волновых функций от коллапсов вероятностей. Как мы установили, одного лишь теплового движения достаточно для разрушения когерентности и коллапса волновой функции в одно из возможных состояний. Пока этот коллапс не наблюдается извне, лучше говорить о превращении чистого ансамбля в смешанный мы имеем необратимый процесс с набором вероятностей в конечном состоянии, и наша частица является представителем этого ансамбля. Можно сказать, что коллапс — это флуктуация, и если мы не имеем специального интереса к флуктуации, то можно использовать усредненное статистическое описание с соответствующими вероятностями, т.е. матрицу плотности смешанного состояния. [c.189] Рассмотрим еще один аспект модели на рис. 17а. Если разнести потенциальные ямы достаточно далеко друг от друга, то полученную систему можно рассматривать как ячейку памяти. Частица, помещенная в один из ящиков , будет находиться там сколь угодно долго, сохраняя один бит информации. Этот бит информации можно заложить изначально, деформируя яму (рис. 16а) в потенциал (рис. 17а) с некоторой несимметричной добавкой так, чтобы частица спустилась на нижний уровень только в одну из ям. Эта несимметричная добавка и служит тем управляющим параметром, который изначально сохраняет один бит информации и затем вкладывает его в ячейку. Другой вариант создания несимметрии более громоздок — вторую яму (рис. 17а) можно было бы сформировать вдали от первой ямы (где находится частица), а затем приблизить ее пустой и создать симметричную ячейку на рис. 17а. Еще один вариант состоит в том, что можно наделать много ячеек типа рис. 17а, затем сколлапсировать в них волновые функции путем их подогревания , а затем рассортировать их на правые и левые с помощью измерений. Далее, из таких ячеек можно конструировать текст. Но еще более завлекательной кажется возможность (если она сможет быть осуществлена) записывать текст непосредственно коллапсами волновых функций внутри ячеек. [c.190] Обсудим теперь вопрос о приближении к равновесию в системе многих частиц, а точнее, в газе — одной из простейших таких систем. Как мы видели выше, классическое рассмотрение движения атомов или молекул газа, естественно, приводит к молекулярному хаосу и к уравнению Больцмана. А процесс приближения к равновесию плотного газа в рамках уравнения Больцмана, естественно, переходит в описание динамики газа на базе уравнений газодинамики с диссипацией. [c.191] Но атомы газа — это не классические, а квантовые микрочастицы. Как следует строить более логичную картину процесса, мы уже установили в предыдущих разделах. Здесь мы подойдем к этому вопросу с точки зрения необратимой эволюции системы. Представим себе отдельный квантовый пакет некоторой наугад взятой частицы. В силу неразличимости частиц лучше говорить не о выделенной частице, а о волновом пакете, отвечающем одной частице. Такой волновой пакет при своем движении будет рассеиваться на других пакетах, и его форма будет становиться похожей на сложно изрезанное расширяющееся облако. Отдельные части такого облака быстро потеряют взаимную когерентность, так что частица неизбежно должна попасть в одну из его частей. Можно сказать, что любая начальная волновая функция такой частицы коллапсирует в более компактный волновой пакет. [c.191] Описанная картина кажется вполне правдоподобной, но в ней скрыт парадокс. Дело в том, что наша система является замкнутой, и поэтому она эволюционирует детерминированно в классическом случае по законам обычной механики, а в квантовом — в соответствии с уравнением Шрёдингера. [c.192] Такая эволюция является полностью обратимой. Поэтому, если в некоторый момент времени г = /о обратить скорости всех частиц у классической системы или заменить волновую функцию ф на ее сопряженную ф у квантовой системы, то эволюция пойдет в обратную сторону, и при I = -1о система вернется в исходное состояние. В том числе, и пробная частица вернется в исходное состояние с соответствующим значением отрицательной энтропии, которая была у нее при / = 0. [c.192] что такая картина является слишком идеализированной. Достаточно перейти к более реалистическому случаю обычного сосуда, находящегося в тепловом равновесии с термостатом, как обратимость исчезнет. Вероятность пробной частицы вернуться в прежнее состояние станет ничтожно малой, поскольку понизить энтропию системы не так-то просто (в естественных условиях теплового равновесия). [c.192] В классическом случае необратимость связана с сильной неустойчивостью системы, т.е. с разбеганием траекторий в фазовом пространстве. А в квантовом случае обращение по времени превращает рассеянные расходящиеся волны в сходящиеся волны. Ясно, что малое внешнее возмущение легко разрушает когерентность сходящихся волн. Поэтому в газе, контактирующем с термостатом, эволюция функции ф -1) должна быть сходна с эволюцией ф(1) и в том, и в другом случае должны присутствовать рассеянные волны. [c.192] Вернуться к основной статье