ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оптические операторы. Свойства и методы численного построения из "Атмосферная оптика Т.7 " Одним из фундаментальных свойств интегральных операторов К с непрерывными ограниченными ядрами является то, что они любое множество ограниченных функций преобразуют в компактные множества непрерывных функций. Подчеркивая это обстоятельство, говорят, что оператор К с непрерывным ядром на множестве ограниченных функций Ф является компактным оператором. Из приведенного свойства оператора К следует одно чрезвычайно важное обстоятельство. Исходное множество Ф независимо от того, является ли оно подмножеством пространства С / ) всех непрерывных функций, заданных на или нет, его образ 5= Р=/(5, 5 Ф есть компактное множество непрерывных функций. Поскольку само по себе пространство непрерывных функций С, заданных на любом конечном носителе, не является компактом, то преобразование, осуществляемое интегральным оператором, приводит к сужению исходного функционального пространства. Естественно, что, обращая функции 3 из компактного подмножества В В а С), мы не можем получить решение 5, которое бы принадлежало более широкому классу функций, каковым, например, является множество С. Возникающая таким образом неопределенность зачастую интерпретируется как некорректность задач, связанных с решением операторных уравнений первого рода. Не будем усложнять изложение материала имеющимися многочисленными трактовками понятия некорректности, полагая, что приведенных выше рассуждений вполне достаточно для понимания подходов к конструированию вычислительных алгоритмов обращения, которые будут описаны ниже. Формальное изложение теории некорректных задач можно найти в работах [18, 48]. [c.41] Как уже указывалось выше, вычислительный алгоритм в методе обращения на компакте основывается на вариационной задаче для функционала р(К8, 3а) на компакте Фм, где есть 0-приближение точной оптической характеристики Ро. Вычислительная процедура реализуется путем построения последовательности Р = и . такой, что Ра) Р Ра), в силу чего указанная последовательность называется минимизирующей. [c.43] В соответствии с этой схемой переход от Pj к осуществляется путем численного построения элемента 5, путем минимизации р(/С/5, Р/) на Фм- Относительно схемы (1 68) следует сделать несколько сугубо практических замечаний. [c.44] В заключение приведем без доказательства следуюпхее утверждение если 5 удовлетворяет условию р(/С , Ра) ст, то р(Ро, Ра) а и р(5о, 5 ) 8 (а), где 8=0(а). Это утверждение гарантирует нам близость полученного решения 5 (как решение вариационной задачи для функционала р на компакте Фм) к точному решению 5о. В дальнейшем будем опускать доказательства подобных утверждений, поскольку работа в целом ориентирована на прикладные исследования и в ней отдается предпочтение неформальному изложению обратных задач. Возможно, это не самый лучший способ изложения обратных задач, но более ясный и доступный. Использованные выше математические понятия в случае необходимости уяснения их смысла можно найти в любом учебнике по функциональному анализу (предпочтение можно отдать элементарному введению в функциональный анализ [10]). [c.45] Подобная задача была поставлена в обстоятельной работе 51], посвященной анализу обусловленности матричных операторов. Известно, что основным аналитическим средством изучения свойств симметричных интегральных операторов и их обращения, является разложение искомых функций в ряды по ортогональным системам собственных функций этих операторов. Основные теоремы и техника вычислений подробно изложены в монографиях [10, 50]. [c.46] Полученное соотношение наглядно показывает, как сингулярные числа [ilk и X2k влияют на элементы матрицыНеравенство (1.83) может использоваться также для оценки параметра регуляризации а. Однако здесь не будем касаться подобных вопросов, поскольку численное определение сингулярных систем интегральных операторов является достаточно сложной вычислительной задачей, существенно превосходящей задачу построения преобразований Pia P2a на основе простых алгебраизованных аналогов этих операторов. В силу этого обстоятельства приведенный выше анализ представляет скорее, теоретический, нежели практический интерес. [c.49] Совокупность векторов а, компоненты которых пробегают в совокупности область Qm, далее будем считать принадлежащими векторному пространству Ч т. При определении конкретных значений параметров а/ по измерениям aj, =1,. . ., п решают аппроксимационную задачу путем минимизации нормы ll a(A-) — — (X, а) в 2(A) или в дискретном варианте a — Р( )11 в k, где модельный вектор (a) имеет компоненты (Xi, ai,. .., a ,. .., am). Напомним, что последняя норма обычно называется оптической невязкой и обозначается через рфа )- В рассматриваемом случае можно просто писать р(а). В качестве решения обратной задачи выбирается вектор а, минимизирующий эту невязку при условии, конечно, что р(а ) а. Это условие указывает на то, что для измеренного вектора a мы подобрали вполне приемлемую аппроксимацию из параметрического семейства оптических моделей Вт, порождаемых вектором а и соответствующим параметрическим полидисперсным интегралом. С учетом (1.88) можно надеяться, что полученное распределение s(r, а ) будет близким к действительному распределению 5о(г). Характер этой близости требует особого рассмотрения, и к нему мы вернемся несколько позже. Очевидно, нет надобности доказывать, что модельные характеристики (А, а), используемые для аппроксимации измеренной функции a( ), образуют компактное множество. [c.54] Возвращаясь снова к методу подбора оптимальной модели, ледует отметить ряд его существенных недостатков. Во-первых, то методологический недостаток, который состоит в том, что по-зышение точности измерений не гарантирует повышения точности определения искомой микроструктуры. Необходима уверенность, что действительно распределение so r) принадлежит семейству Фт, т. е. само является параметрическим распределением указанного вида. Иными словами, необходимо, чтобы So(r) (г, ао), где ао — один из векторов В противном случае so(r)—s(r, а)1 не становится малым при а- 0. В подобных ситуациях говорят, что исходная аналитическая модель выбрана неудачно. Второе обстоятельство чисто технического плана и связано с нелинейной зависимостью невязки р(а) от искомых параметров а/. Поэтому обычно оценивают не более двух параметров, задавая остальные на основе предварительно имеющейся информации. [c.55] Подробно техника обращения данных по светорассеянию аэрозольными системами изложена в монографии авторов [17], поэтому в заключение ограничимся лишь двумя общими замечаниями. [c.56] Параметризация обратной задачи светорассеяния может быть оправдана в случаях, когда требуется в конечном итоге знать не сами распределения, а некоторые функционалы от этих распределений. В частности, нетрудно видеть, что Nur суть функционалы от п г). В определенных пределах N м г слабо зависят от особенностей аналитического поведения моделей п г) в пределах области R. Другим примером функционалов (т. е. функций, аргументы которых суть сами функции) являются оптические характеристики [s (г), X] — (Ks) (i). Поэтому восстановление полного спектрального хода характеристики (X) по измеренному вектору a также слабо зависит от каких-то особенностей локального поведения соответствующих распределений Sa(r). Подобные примеры можно продолжить. [c.56] Второе замечание касается общей оценки метода моделей в обращении оптических данных. Задание аналитической модели искомой функции при решении интегрального уравнения может оказаться излишним переопределением обратной задачи. Соответствующие компакты в аналитическом отношении оказываются чрезмерно жесткими и поэтому мало эффективными в информационном смысле. В связи с этим в целом подобный подход может квалифицироваться не более как метод качественной интерпретации данных. Более эффективными являются, конечно, подходы, в которых исходные компакты обладают большими аналитическими возможностями в аппроксимации действительных распределений. Подобные модели излагаются ниже. [c.56] Очевидно, что множество возможных аналитических моделей у(г, 5), удовлетворяющих (1.97), может быть весьма обширным. Выбор конкретной из них определяется соображениями как физического, так и аналитического характера. В простейшем случае это может быть просто ступенчатая функция, которую применительно к распределениям, т. е. положительным функциям, принято называть гистограммой. Будем обозначать это распределение через у Гу ) или просто у [г). [c.57] При рассмотрении того или иного метода численного обращения необходимо кратко оговаривать вопросы сходимости последовательности приближенных решений к действительным распределениям. Как и ранее, не будем прибегать к излишнему формализму, который во многих случаях весьма тривиален, особенно если предполагать, что искомая функция so r) в операторном уравнении Ks=p и алгоритмически получаемая последовательность приближенных решений принадлежат одному и тому же компакту. Практически, однако, подобное предположение часто нарушается, в чем нетрудно убедиться на примере обратной задачи светорассеяния. [c.58] Так называемые стандартные модели и, в частности, те, которые представлены выражениями (1.96), вторичны и порождены попыткой аппроксимировать реальные спектры размеров стандартными аналитическими аналогами. Особой необходимости в подобных моделях при построении теории микроструктурного анализа, включая, в частности, и оптические методы, естественно нет. Модельные распределения могут представлять интерес в разработке качественных методов интерпретации оптических измерений, а также в методах прикладного анализа оптических характеристик светорассеяния полидисперсными системами частиц, которые будут изложены в четвертой главе. Представленный в данном пункте материал можно рассматривать не более как краткое введение в теорию микроструктурного анализа полидисперсных систем методами оптического зондирования. Строгое ее изложение требует использования интеграла Стилтьеса, в связи с чем мы отсылаем читателя к работам [32, 33], а ниже рассмотрим пример интерпретации оптических данных. [c.59] Действительно, для первой модели характерна локализация частиц в окрестности моды rs и быстрое убывание значений s rs,S,r) вправо и влево от этой точки. При использовании этой модели в схеме обращения искомому решению мы как бы навязываем искусственно подобное аналитическое свойство. Вторая модель, т. е. ступенчатое распределение, свободна от подобного недостатка, и поэтому ей в этом отношении можно доверять в большей мере. В частности, как следует из а( ), распределение So r) монотонно убывает в области размеров [0,1 0,6 мкм], и поэтому его можно в принципе удовлетворительно аппроксимировать степенной функцией с отрицательным показателем, т. е. моделью типа (1.96а). Конечно, следует иметь в виду, что в данном примере явно недостаточно трех измерений Ряа( ), чтобы получить достоверные оценки для пяти компонент опорного вектора s из решения вырожденной системы (1.101). Поэтому и нет особых оснований подробно обсуждать локальное поведение действительного распределения so r) по решению а( ). Для нас было важно проиллюстрировать влияние аналитических свойств модельных распределений, выбираемых в качестве возможных решений обратных задач, на характер получаемой информации о спектре размеров полидисперсной системы частиц. [c.61] Выше упоминалось о том, что множество всех непрерывных распределений Ф в общем случае не является компактным само по себе и, следовательно, в силу топологической леммы не может служить основой для построения сходящейся последовательности приближенных решений при обращении интегральных уравнений первого рода. В связи с этим любой вычислительный алгоритм так или иначе основывается на предварительном сужении (ограничении) Ф до некоторого компакта. В предыдуш,ем примере рассматривались два возможных варианта простейших компактов применительно к проблеме микроструктурного анализа аэрозолей из оптических измерений. Первый из них состоял из параметрического семейства модельных распределений, второй — из гистограмм, ограниченных по абсолютному значению и размерности т. В пределах данного раздела мы построим еще один простейший компакт, который так же, как и предыдущий, приводит к методу линейных систем при обращении оптических характеристик, и его распределения также согласованы с дискретным характером реальных спектров размеров рассеивающих ансамблей частиц. Построение указанного компакта начнем с рассмотрения простого примера, иллюстрирующего, в частности, почему множество не- прерывных распределений Ф не является компактом. [c.62] Параметр (о может быть сколь угодно большим, и при этом распределение 5 (со, г) не меняет указанных выше свойств, т. е. остается положительным, ограниченным и непрерывным. При изменении параметра со в пределах области Q (со) = ((Ощт, (Отах) совокупность указанных моделей образует параметрическое семейство (множество, последовательность и т. п.). Нетрудно видеть, что для подобного параметрического семейства функций выбор конечной константы h в неравенстве (1.666) требует прямых ограничений на область й(со). Таким образом, для того чтобы из распределений 5(со, г) построить компакт Ф= 5(г, со) , нужно выбросить функции с большими значениями со, которые в дальнейшем удем в целях простоты называть сильно осциллирующими либо нерегулярными. [c.63] Необходимо иметь в виду, что если некоторое распределение s(r) есть сумма двух распределений, скажем so r) и s (со, г), где первую компоненту so r) можно считать регулярной в указанном выше смысле, то аналитические свойства s г) все же определяются в большей степени второй компонентой 5(со, г). Дело состоит в том, что хотя обычно So r) по абсолютным значениям может всюду превосходить осциллирующую компоненту 5 (со, г) в интервале R, для производных это, как правило, не выполняется, т. е. [c.63] Вернуться к основной статье