ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Автомодельное решение и закон сохранения энергии и импульса из "Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений " Прежде чем заниматься математическим решением уравнений, следует решить вопрос, к какому из двух типов принадлежит автомодельное движение, нельзя ли определить показатель автомодельности а из соображений размерности или законов сохранения. В отличие от двух задач, рассмотренных выше о схождении ударной волны к центру и о выходе ударной волны на поверхность звезды, в рассматриваемой задаче в каждый момент времени I в движение вовлечена вполне определенная, конечная масса газа роХ (на 1 см поверхности). [c.641] Но взятые вместе, эти условия противоречат друг другу, так как приводят к различным показателям а. Возникает парадоксальное положение, при котором не могут быть одновременно выполненными законы сохранения импульса и энергии, лежащие в основе уравнений газовой динамики. Создается впечатление, что задача не имеет автомодельного решения. [c.642] Разрешение этого противоречия, однако, заключается в ином. Дело в том, что автомодельное решение, которое существует и которое будет найдено ниже, в действительности принадлежит ко второму типу. Показатель автомодельности а находится не из законов сохранения или соображений размерности, а путем решения уравнений для функций-пред-ставителей, из условия прохождения истинного решения через особую точку, так же как и в задачах, рассмотренных в предыдущих разделах. [c.642] Показателю автомодельности а = 3/5 соответствует размерность параметра А в законе X = А1°-, равная [Л] = см-сек / . Мы уже знаем (см. [c.643] Численный коэффициент в законе пропорциональности определяется формой кривой давления / ( /т). [c.643] какой физический смысл имеет бесконечность энергии в автомодельном движении, будет сказано ниже. Заметим здесь только, что на самом деле энергия газа, конечно, ограничена и равна работе, совершенной поршнем. Просто автомодельное решение неприменимо к малой массе у границы газа, которая и вносит расходимость в интеграл энергии. [c.644] Граничные условия на фронте ударной волны при 5 = 1 были выписаны в И (формулы (12.32)). На границе газа с пустотой давление и плотность обращаются в нуль, а скорость в ( —оо), т. е. при — оо я ( —оо) = О, ( —оо) = О, г ( —оо) = — оо. [c.644] После ряда преобразований уравнения сводятся, как обычно, к одному дифференциальному уравнению первого порядка, одной квадратуре и одному алгебраическому соотношению между всеми переменными — интегралу адиабатичностн. Показатель автомодельности определяется из условия, чтобы искомое решение дифференциального уравнения прошло через особую точку. [c.644] С математической стороной вопроса, последовательностью преобразований уравнений, их исследованием, конкретными методами решения можно познакомиться в статьях [13, 14]. Остановимся здесь более подробно на результатах для частного случая Y = 7/5, для которого удается найти точное аналитическое решение уравнений. [c.645] При рассмотрении аналитического решения становятся особенно наглядными все основные черты процесса. [c.645] Распределения давления, плотности и скорости по эйлеровой координате показаны на рис. 12.12. Интересно, что давление линейным образом распределено по массе, а скорость — в пространстве. Скорость обращ ается в нуль и меняет направление в точке 5 = 1/2. Масса, заключенная между начальным полон ением границы газа х = 0 и фронтом волны, в каждый момент времени составляет 90% от всей массы, вовлеченной в движение. 10% массы в результате ударного сжатия и последующего расширения оказываются выброшенными левее начальной границы газа. 78% массы движется направо, а 22% — налево. [c.646] Особой точке, через которую.проходит решение дифференциального уравнения задачи, соответствуют значения автомодельных переменных г о = 7 2 = 0,054, 5о=-1/2. [c.646] Т) = 1 — линия фронта ударной волны Т) = Т)о — особая т о-линия. Проведены характеристики С+- и С--семейств. [c.647] Профили давления, плотности, скорости при разных значениях показателя адиабаты в качественном отношении подобны профилям в случае у = 7/5 (см. рис. 2.11, 2.12). [c.647] Вернуться к основной статье